センター試験 数学Ⅰ・A 2001年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2001年度
問No 問2
学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Kakko#1{(\makebox[1zw][c]{#1})} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}\quad (\textgt{必答問題})\quad (配点 \; 40)\\ \BK{\kagiichi} $a$を実数とし,$x$の整式$A,\,B$を \[\h A=x^3+5x^2+a^2x+a^2-6a+20\] \[\h B=x^3+(a^2+5)x+a^2-6a+30\] とする。このとき \[\h A-B=5\SK{x+\FBA{ア}}\SK{x-\FBA{イ}}\] である。 \EK \begin{shomon} $P=x+\FBAS{ア}$とし,$A$が$P$で割り切れるとする。このとき \[a=\FBA{ウ},\,A=\SK{x^2+4x+\FBA{エオ}}P\] である。さらに \[B=\SK{x^2-x+\FBA{カキ}}P\] であり,$A$,$B$はともに$P$で割り切れる。 \end{shomon} \begin{shomon} $Q=x-\FBAS{イ}$とすると,$A$を$Q$で割った余り$R$は \[R=\FBA{ク}(a-1)^2+45\] となる。よって,どんな$a$についても余り$R$は正となり,$A$は$Q$で割り切れない。 \end{shomon} \vspace{4mm} \BK{\kagini} 図のように交わる2円O,O$'$がある。この図においてA,Bは2円の交点,Cは直線OO$'$と円O$'$の交点,Dは直線CBと円Oの交点である。\\ さらに \[\h \sin\Kaku{ABC}=\frac{2\dsqrt{5}}{5},\,\text{AB}=3,\,\text{BD}=\sqrt{5}\] とする。このとき \[\h \cos\Kaku{ABD}=\frac{\FBA{ケ}\dsqrt{\FBA{コ}}}{\FBA{サ}},\,\text{AD}=\FBA{シ}\sqrt{\FBA{ス}}\] \begin{center} \includegraphics[width=13cm,clip]{center2001-1a-2sankou1.eps} \end{center} となり,円Oの半径OAは$\dfrac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}$である。また,円O$'$の半径O$'$Aは$\dfrac{\FBA{タチ}}{\FBA{ツ}}$である。さらに2円の中心間の距離は \[\h \text{OO$'$}=\frac{\FBA{テト}}{\FBA{ナ}}\] となる。 \EK \end{document}