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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅰ・Ａ |
| 年度 |
2001年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
図形と計量 ・ 式と証明
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Kakko#1{(\makebox[1zw][c]{#1})}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第２問}}\quad (\textgt{必答問題})\quad (配点 \; 40)\\
\BK{\kagiichi}
$a$を実数とし，$x$の整式$A,\,B$を
\[\h A=x^3+5x^2+a^2x+a^2-6a+20\]
\[\h B=x^3+(a^2+5)x+a^2-6a+30\]
とする。このとき
\[\h A-B=5\SK{x+\FBA{ア}}\SK{x-\FBA{イ}}\]
である。
\EK
\begin{shomon}
$P=x+\FBAS{ア}$とし，$A$が$P$で割り切れるとする。このとき
\[a=\FBA{ウ},\,A=\SK{x^2+4x+\FBA{エオ}}P\]
である。さらに
\[B=\SK{x^2-x+\FBA{カキ}}P\]
であり，$A$，$B$はともに$P$で割り切れる。
\end{shomon}
\begin{shomon}
$Q=x-\FBAS{イ}$とすると，$A$を$Q$で割った余り$R$は
\[R=\FBA{ク}(a-1)^2+45\]
となる。よって，どんな$a$についても余り$R$は正となり，$A$は$Q$で割り切れない。
\end{shomon}
\vspace{4mm}
\BK{\kagini}
図のように交わる2円O，O$'$がある。この図においてA，Bは2円の交点，Cは直線OO$'$と円O$'$の交点，Dは直線CBと円Oの交点である。\\
さらに
\[\h \sin\Kaku{ABC}=\frac{2\dsqrt{5}}{5},\,\text{AB}=3,\,\text{BD}=\sqrt{5}\]
とする。このとき
\[\h \cos\Kaku{ABD}=\frac{\FBA{ケ}\dsqrt{\FBA{コ}}}{\FBA{サ}},\,\text{AD}=\FBA{シ}\sqrt{\FBA{ス}}\]
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm,clip]{center2001-1a-2sankou1.eps}
\end{center}
となり，円Oの半径OAは$\dfrac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}$である。また，円O$'$の半径O$'$Aは$\dfrac{\FBA{タチ}}{\FBA{ツ}}$である。さらに2円の中心間の距離は
\[\h \text{OO$'$}=\frac{\FBA{テト}}{\FBA{ナ}}\]
となる。
\EK
\end{document}
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