センター試験 数学Ⅱ・B 2002年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2002年度
問No 問3
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ 平行四辺形ABCDにおいて,辺ABを$a:1$に内分する点をP,辺BCを$b:1$に内分する点をQとする。辺CD上の点Rおよび辺DA上の点Sをそれぞれ$\text{PR}\parallel\text{BC},\text{SQ}\parallel\text{AB}$となるようにとり,$\vec{x}=\Vec{BP},\,\vec{y}=\Vec{BQ}$とおく。 \begin{center} \includegraphics[width=11cm,clip]{center2002-2b-3sankou1.eps} \end{center} \begin{shomon} 五角形PBQRSの辺RQ,SPおよび対角線SB,RBが表すベクトルは$\vec{x}$,$\vec{y}$を用いて \[\Vec{RQ}=-\vec{x}-\frac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}}\vec{y},\quad\Vec{SP}=\FBA{ウエ}\vec{x}-\vec{y}\] \[\Vec{SB}=-\SK{\FBA{オ}+\FBA{カ}}\vec{x}-\vec{y}\] \[\Vec{RB}=-\vec{x}-\SK{\FBA{キ}+\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}}\vec{y}\] となる。 \end{shomon} \begin{shomon} $\Vec{SP}\cdot\!\vec{x}=\vns{x}{y}=\vec{y}\!\cdot\Vec{RQ}$が成り立つとする。このとき \[\vns{x}{y}=-\frac{\FBA{コ}}{\FBA{サ}}\vabs{\vec{x}}^2=-\frac{1}{\FBA{シス}}\vabs{\vec{y}}^2\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $\text{RQ}\parallel\text{SB}$および$\text{SP}\parallel\text{RB}$が成り立つとする。このとき \[a=\frac{\FBA{セソ}+\sqrt{\FBA{タ}}}{\FBA{チ}},\quad b=\frac{\FBA{ツ}+\sqrt{\FBA{テ}}}{\FBA{ト}}\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} \kakkoni と\kakkosan の条件が同時に成り立つとき \[\frac{\vabs{\vec{y}}}{\vabs{\vec{x}}}=\FBA{ナ}\] であるから \[\cos\Kaku{PBQ}=\frac{\FBA{ニ}-\sqrt{\FBA{ヌ}}}{\FBA{ネ}}\] を得る。 \end{shomon} \end{document}