解答を見る
解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅰ・Ａ |
| 年度 |
2002年度 |
| 問No |
問4 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
平面幾何
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第４問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\
三角形ABCの外心をO，内心をI，また，外接円の半径を$R$，内接円の半径を$r$とする。OとIが一致しない場合に$R$，$r$とOIの関係を調べよう。次の\textgt{ア}～\textgt{サ}にはA～Gの中からC以外の当てはまる文字を選べ。ただし，\textgt{エ}と\textgt{オ}は解答の順序を問わない。\\
AIの延長と外接円の交点をDとし，DOの延長と外接円の交点をEとする。また直線OIと外接円の交点をF，GとしF，O，I，Gがこの順に並ぶものとする。IからACへ垂線をひき，交点をHとする。
\vspace{2mm}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,clip]{center2002-1a-4sankou.eps}
\end{center}
\vspace{2mm}
$\sankaku$AHIと$\sankaku$EBDは，
\[\Kaku{HAI}=\Kaku{\FBA{アイ}I}=\Kaku{BED}\]
\[\Kaku{AHI}=\Kaku{EBD}=\DO{90}\]
であるから相似で，$\text{ED}:\FBA{ウ}\text{I}=\FBA{エオ}:\text{HI}$が成り立ち
\[\FBAS{ウ}\text{I}\cdot\FBAS{エオ}=2rR\Cdots\;\kakkoichi\]
\quad
次に$\sankaku$DBIにおいて
\[\Kaku{DIB}=\Kaku{I\FBA{カキ}}+\Kaku{IBA}\]
\[\Kaku{DBI}=\Kaku{DBC}+\Kaku{IBC}\]
\[\Kaku{IBA}=\Kaku{IBC}\]
\[\Kaku{I\FBAS{カキ}}=\Kaku{DAC}=\Kaku{DBC}\]
であるから，$\Kaku{DIB}=\Kaku{\FBA{クケ}I}$で，$\sankaku$DBIは二等辺三角形となり
\[\FBAS{エオ}=\text{ID}\Cdots\;\kakkoni \]
\quad
$\sankaku$IFDと$\sankaku$IAGにおいて
\[\Kaku{IFD}=\Kaku{GFD}=\Kaku{IAG}\]
\[\Kaku{FID}=\Kaku{AIG}\]
したがって，$\sankaku$IFDと$\sankaku$IAGは相似であり
\[\text{AI}\cdot\FBA{コ}\text{I}=\FBA{サ}\text{I}\cdot\text{GI} \]
\[\hspace{6.6zw}=(\FBAS{サ}\text{O}+\text{OI})(\text{GO}-\text{OI})\]
\[\hspace{6.6zw}=R^2-\text{OI}^2\Cdots\;\kakkosan\]
\kakkoichi，\kakkoni，\kakkosan から
\[\text{OI}^2=R^2-\FBA{シ}\]
が成り立つ。ただし，\FBA{シ}には次の\NM{\nagamarurei}～\NM{\nagamarugo}の中から正しいものを一つ選べ。\\
\begin{tabular}{lll}
\hspace{-1zw}
\NM{\nagamarurei}\quad \makebox[10.5zw][l]{$r$} &
\NM{\nagamaruichi}\quad \makebox[10.5zw][l]{$R$} &
\NM{\nagamaruni}\quad $r^2$ \\
\hspace{-1zw}
\NM{\nagamarusan}\quad $rR$ &
\NM{\nagamarushi}\quad $2rR$ &
\NM{\nagamarugo}\quad $4rR$
\end{tabular}
\end{document}
ヘルプ
