センター試験 数学Ⅰ・A 2002年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2002年度
問No 問4
学部
カテゴリ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\ 三角形ABCの外心をO,内心をI,また,外接円の半径を$R$,内接円の半径を$r$とする。OとIが一致しない場合に$R$,$r$とOIの関係を調べよう。次の\textgt{ア}~\textgt{サ}にはA~Gの中からC以外の当てはまる文字を選べ。ただし,\textgt{エ}と\textgt{オ}は解答の順序を問わない。\\ AIの延長と外接円の交点をDとし,DOの延長と外接円の交点をEとする。また直線OIと外接円の交点をF,GとしF,O,I,Gがこの順に並ぶものとする。IからACへ垂線をひき,交点をHとする。 \vspace{2mm} \begin{center} \includegraphics[width=10cm,clip]{center2002-1a-4sankou.eps} \end{center} \vspace{2mm} $\sankaku$AHIと$\sankaku$EBDは, \[\Kaku{HAI}=\Kaku{\FBA{アイ}I}=\Kaku{BED}\] \[\Kaku{AHI}=\Kaku{EBD}=\DO{90}\] であるから相似で,$\text{ED}:\FBA{ウ}\text{I}=\FBA{エオ}:\text{HI}$が成り立ち \[\FBAS{ウ}\text{I}\cdot\FBAS{エオ}=2rR\Cdots\;\kakkoichi\] \quad 次に$\sankaku$DBIにおいて \[\Kaku{DIB}=\Kaku{I\FBA{カキ}}+\Kaku{IBA}\] \[\Kaku{DBI}=\Kaku{DBC}+\Kaku{IBC}\] \[\Kaku{IBA}=\Kaku{IBC}\] \[\Kaku{I\FBAS{カキ}}=\Kaku{DAC}=\Kaku{DBC}\] であるから,$\Kaku{DIB}=\Kaku{\FBA{クケ}I}$で,$\sankaku$DBIは二等辺三角形となり \[\FBAS{エオ}=\text{ID}\Cdots\;\kakkoni \] \quad $\sankaku$IFDと$\sankaku$IAGにおいて \[\Kaku{IFD}=\Kaku{GFD}=\Kaku{IAG}\] \[\Kaku{FID}=\Kaku{AIG}\] したがって,$\sankaku$IFDと$\sankaku$IAGは相似であり \[\text{AI}\cdot\FBA{コ}\text{I}=\FBA{サ}\text{I}\cdot\text{GI} \] \[\hspace{6.6zw}=(\FBAS{サ}\text{O}+\text{OI})(\text{GO}-\text{OI})\] \[\hspace{6.6zw}=R^2-\text{OI}^2\Cdots\;\kakkosan\] \kakkoichi,\kakkoni,\kakkosan から \[\text{OI}^2=R^2-\FBA{シ}\] が成り立つ。ただし,\FBA{シ}には次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarugo}の中から正しいものを一つ選べ。\\ \begin{tabular}{lll} \hspace{-1zw} \NM{\nagamarurei}\quad \makebox[10.5zw][l]{$r$} & \NM{\nagamaruichi}\quad \makebox[10.5zw][l]{$R$} & \NM{\nagamaruni}\quad $r^2$ \\ \hspace{-1zw} \NM{\nagamarusan}\quad $rR$ & \NM{\nagamarushi}\quad $2rR$ & \NM{\nagamarugo}\quad $4rR$ \end{tabular} \end{document}