センター試験 数学Ⅰ・A 2002年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2002年度
問No 問2
学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Kakko#1{(\makebox[1zw][c]{#1})} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}\quad (\textgt{必答問題})\quad (配点 \; 40)\\ \BK{\kagiichi} $a,\,b$を実数とし,$x$の整式$A,\,B$を \[\h A=x^2+ax+b,\quad B=x^2+x+1\] とする。ただし,$A$と$B$は等しくないものとする。 \EK \begin{shomon} 等式 \[A^2+B^2=2x^4+6x^3+3x^2+cx+d\] が成り立つとき,$a=\FBA{ア},\,b=-\FBA{イ},\,c=-\FBA{ウ},\,d=\FBA{エ}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 等式 \[\quad A^2-B^2=(A-B)(A+B)\] \[=\CK{(a-1)x+(b-1)\vphantom{\frac{a}{a}}}\CK{\FBA{オ}x^2+\SK{a+\FBA{カ}}x+b+1}\] を考える。$A-B$が$x-1$で割り切れるのは\FBA{キ}のときであり,また,$A+B$が$x-1$で割り切れるのは\FBA{ク}のときである。よって$A-B$と$A+B$が同時に$x-1$で割り切れることはない。ただし,\FBA{キ},\FBA{ク}については,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarushi}の中から当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ。\\ \begin{tabular}{lll} \hspace{-1zw} \NM{\nagamarurei}\quad \makebox[10.5zw][l]{$a+b=0$} & \NM{\nagamaruichi}\quad \makebox[10.5zw][l]{$a-b=0$} & \NM{\nagamaruni}\quad $a+b-2=0$ \\ \hspace{-1zw} \NM{\nagamarusan}\quad $a+b+4=0$ & \NM{\nagamarushi}\quad $a-b-2=0$ & \end{tabular} \\ したがって,$A^2-B^2$が$(x-1)^2$で割り切れるのは,$A+B$が$(x-1)^2$で割り切れる場合である。このとき \[a=-\FBA{ケ},\,b=\FBA{コ},\,A^2-B^2=\FBB{サシス}x(x-1)^2\] となる。 \end{shomon} \vspace{4mm} \BK{\kagini} 半径$R$の円に内接する四角形ABCDが \[\h\text{AB}=\sqrt{3}-1,\,\text{BC}=\sqrt{3}+1,\,\cos\Kaku{ABC}=-\frac{1}{4}\] を満たしており,$\sankaku$ACDの面積は$\sankaku$ABCの面積の3倍であるとする。 \quad このとき, \[\h \text{AC}=\FBA{セ},\,R=\frac{\FBA{ソ}\sqrt{\FBA{タチ}}}{\FBA{ツ}}\] である。また,$\sankaku$ACDと$\sankaku$ABCの面積についての条件から, \[\h \text{AD}\times\text{CD}=\FBA{テ}\] \[\h \text{AD}^2+\text{CD}^2=\FBA{トナ}\] となる。したがって,四角形ABCDの周の長さは \[\h \FBA{ニ}\sqrt{\FBA{ヌ}}+2\sqrt{3}\] である。 \EK \end{document}