センター試験 数学Ⅱ・B 2003年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2003年度
問No 問4
学部
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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1
現行課程範囲外です。
山田 慶太郎 さん 2009/11/22 20:08:49 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 複素数平面上で \[z_0=(\sqrt{3}+i)(\cos\theta+i\sin\theta)\] \[z_1=\frac{4\{(1-\sin\theta)+i\cos\theta\}}{(1-\sin\theta)-i\cos\theta}\] \[z_3=-\frac{2}{z_1}\] の表す点をそれぞれP$_0$,\,P$_1$,\,P$_2$とする。ただし,$\DO{0}<\theta<\DO{90}$とする。また,$\arg z$は複素数$z$の偏角を表すものとし,偏角は$-\DO{180}$以上$\DO{180}$未満とする。 \begin{shomon} $\abs{z_0}=\FBA{ア},\,\arg z_0=\FBA{イウ}\Shisu{\circ}+\theta$である。 \end{shomon} \begin{shomon} $z_1$の分母と分子に$(1-\sin\theta)+i\cos\theta$をかけて計算すると \[z_1=\FBA{エ}(-\sin\theta+i\cos\theta)\] となる。よって,\,$\abs{z_1}=\FBA{オ},\,\arg z_1=\FBA{カキ}\Shisu{\circ}+\theta$である。 \end{shomon} \begin{shomon} $\abs{\dfrac{z_1}{z_0}}=\FBA{ク},\,\arg\dfrac{z_1}{z_0}=\FBA{ケコ}\Shisu{\circ}$\\ であるから,\,P$_0$P$_1=\FBA{サ}\sqrt{\FBA{シ}}$である \end{shomon} \begin{shomon} 原点O,\,P$_0$,\,P$_1$,\,P$_2$の4点が同一円周上にある場合を考える。このとき$\Kaku{OP$_2$P$_1$}$を考えると \[\arg\frac{z_1-z_2}{-z_2}=-\FBA{スセ}\Shisu{\circ}\] であるから, \[\FBA{ソ}\cos2\theta-\FBA{タ}=0\] が成り立つ。よって \[\sin\theta=\frac{\sqrt{\FBA{チ}}}{\FBA{ツ}}\] となる。 \end{shomon} \end{document}