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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
早稲田大学 |
学科・方式 |
政治経済学部 |
年度 |
2007年度 |
問No |
問2 |
学部 |
政治経済学部
|
カテゴリ |
数と式
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=160mm \topmargin=-15mm \oddsidemargin=-1mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}}
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-2zw}\textbf{問2}\quad$a,\ bが有理数のとき,\\[1mm]
\hspace*{3zw} a\sqrt{\,2\,}+b\sqrt{\,3\,}=0 \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots
\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{A}) \hspace*{17zw}\\[1mm]
であれば,\ \,a=b=0\ であることを証明する。空欄を埋め,証明を完成せよ。空欄にあてはまる
最\\[1mm]も簡単な数を解答欄に記入せよ。\\[5mm]
\paalen{証明}\ \ b\neq 0\ と仮定すると,\ \ \paalen{\mbox{A}}と \\[2mm]
\hspace*{3zw}\! -\dfrac{\ a\ }{b}=\framebox[10mm][c]{ア} \hfill\3dots\3dots
\3dots\3dots\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{B}) \hspace*{17zw}\\[2mm]
は同値である。\ \ \paalen{\mbox{B}}の左辺は有理数であるから,\\[2mm]
\hspace*{3zw} \framebox[10mm][c]{ア}=\dfrac{\ n\ }{m} \hfill\3dots\3dots
\3dots\3dots\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{C}) \hspace*{17zw}\\[2mm]
とおくことができる。ただし,\ \ m,\ n\ は正の整数で,\ \ m\ と\ n\ の最大公約数
は1である。\\[1mm]
\quad \paalen{\mbox{C}}の両辺を2乗して整理すると,\\[1.5mm]
\hspace*{3zw} \framebox[10mm][c]{イ}\,m^2=\framebox[10mm][c]{ウ}\,n^2
\hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{D})
\hspace*{17zw}\\[1.5mm]
と\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る。し\hspace*{1pt}た\hspace*{1pt}が\hspace*{1pt}っ
\hspace*{1pt}て,\ \ m^2\ は\ \framebox[10mm][c]{ウ}\ の\hspace*{1pt}倍\hspace*
{1pt}数\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る\hspace*{1pt}か\hspace*{1pt}ら,
\ \ mも\ \framebox[10mm][c]{ウ}\ の\hspace*{1pt}倍\hspace*{1pt}数\hspace*{1pt}で
\hspace*{1pt}あ\hspace*{1pt}る。そ\hspace*{1pt}こ\hspace*{1pt}で,\\[1mm]%
\,m=\framebox[10mm][c]{ウ}\ \ell\ \paalen{ただし,\ \ell\ は正の整数}\ と表すと,
\ \ \paalen{\mbox{D}}より,\ \ \framebox[10mm][c]{エ}\ \ell^2=n^2\ となる。
したがって,\\[1mm]\, n^2\ は\ \framebox[10mm][c]{エ}\ の倍数であり,
\ \ nも\ \framebox[10mm][c]{エ}\ の倍数である。よって,\ \ mもnも
\ \framebox[10mm][c]{ウ}\ の倍数となり,\\[1mm]\, mとnの最大公約数が1であることに
矛盾する。したがって,\ \ b=0\ が得られた。このとき,\ \ \paalen{\mbox{A}}\\[1mm]
よりa=0であるから,\ \ a=b=0である。\\
\hfill \paalen{証明終わり} $
\end{document}