早稲田大学 政治経済学部 2007年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2007年度
問No 問2
学部 政治経済学部
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=160mm \topmargin=-15mm \oddsidemargin=-1mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\textbf{問2}\quad$a,\ bが有理数のとき,\\[1mm] \hspace*{3zw} a\sqrt{\,2\,}+b\sqrt{\,3\,}=0 \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots \3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{A}) \hspace*{17zw}\\[1mm] であれば,\ \,a=b=0\ であることを証明する。空欄を埋め,証明を完成せよ。空欄にあてはまる 最\\[1mm]も簡単な数を解答欄に記入せよ。\\[5mm] \paalen{証明}\ \ b\neq 0\ と仮定すると,\ \ \paalen{\mbox{A}}と \\[2mm] \hspace*{3zw}\! -\dfrac{\ a\ }{b}=\framebox[10mm][c]{ア} \hfill\3dots\3dots \3dots\3dots\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{B}) \hspace*{17zw}\\[2mm] は同値である。\ \ \paalen{\mbox{B}}の左辺は有理数であるから,\\[2mm] \hspace*{3zw} \framebox[10mm][c]{ア}=\dfrac{\ n\ }{m} \hfill\3dots\3dots \3dots\3dots\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{C}) \hspace*{17zw}\\[2mm] とおくことができる。ただし,\ \ m,\ n\ は正の整数で,\ \ m\ と\ n\ の最大公約数 は1である。\\[1mm] \quad \paalen{\mbox{C}}の両辺を2乗して整理すると,\\[1.5mm] \hspace*{3zw} \framebox[10mm][c]{イ}\,m^2=\framebox[10mm][c]{ウ}\,n^2 \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\ \ (\raisebox{-.5pt}{D}) \hspace*{17zw}\\[1.5mm] と\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る。し\hspace*{1pt}た\hspace*{1pt}が\hspace*{1pt}っ \hspace*{1pt}て,\ \ m^2\ は\ \framebox[10mm][c]{ウ}\ の\hspace*{1pt}倍\hspace* {1pt}数\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る\hspace*{1pt}か\hspace*{1pt}ら, \ \ mも\ \framebox[10mm][c]{ウ}\ の\hspace*{1pt}倍\hspace*{1pt}数\hspace*{1pt}で \hspace*{1pt}あ\hspace*{1pt}る。そ\hspace*{1pt}こ\hspace*{1pt}で,\\[1mm]% \,m=\framebox[10mm][c]{ウ}\ \ell\ \paalen{ただし,\ \ell\ は正の整数}\ と表すと, \ \ \paalen{\mbox{D}}より,\ \ \framebox[10mm][c]{エ}\ \ell^2=n^2\ となる。 したがって,\\[1mm]\, n^2\ は\ \framebox[10mm][c]{エ}\ の倍数であり, \ \ nも\ \framebox[10mm][c]{エ}\ の倍数である。よって,\ \ mもnも \ \framebox[10mm][c]{ウ}\ の倍数となり,\\[1mm]\, mとnの最大公約数が1であることに 矛盾する。したがって,\ \ b=0\ が得られた。このとき,\ \ \paalen{\mbox{A}}\\[1mm] よりa=0であるから,\ \ a=b=0である。\\ \hfill \paalen{証明終わり} $ \end{document}