センター試験 数学Ⅰ・A 2003年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2003年度
問No 問2
学部
カテゴリ 数と式 ・ 図形と計量 ・ 集合と論理
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Kakko#1{(\makebox[1zw][c]{#1})} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}\quad (\textgt{必答問題})\quad (配点 \; 40)\\ \h\kagiichi \begin{shomon} $p,\,q,\,r$を実数とし,$x$についての整式$A$,$B$を \[A=x^3+px^2+qx+r\] \[B=x^2-3x+2\] とする。 \end{shomon} \BK{\Kakko{a}} $A$を$B$で割ったときの商が$x-1$であった。このとき,$p=\FBA{アイ}$である。 \EK \BK{\Kakko{b}} $A$を$B$で割ったときの余りが$x$で割り切れた。このとき, \[\h r=\FBA{ウ}p+\FBA{エ}\] である。 \EK \BK{\Kakko{c}} $A$を$B$で割ったとき,その商と余りが等しくなった。このとき, \[\h q+r=\FBA{オ}\] である。 \EK \begin{shomon} $a,\,b$を実数として,次の\FBA{カ}~\FBA{ケ}に,下の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruG}のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。 \[(\abs{a+b}+\abs{a-b})^2=2(a^2+b^2+\FBA{カ})\] であるから,$(\abs{a+b}+\abs{a-b})^2=4a^2$が成り立つための必要十分条件は\FBA{キ}である。\FBAS{キ}でないときは \[(\abs{a+b}+\abs{a-b})^2=\FBA{ク}\] となる。\\ \quad また,$\dfrac{1}{2}(\abs{a+b}+\abs{a-b})=b$が成り立つための必要十分条件は\FBA{ケ}である。\\ \begin{tabular}{llll} \hspace{-1zw} \NM{\nagamarurei}\quad \makebox[7zw][l]{$a^2$} & \NM{\nagamaruichi}\quad \makebox[7zw][l]{$b^2$} & \NM{\nagamaruni}\quad \makebox[7zw][l]{$4a^2$} & \NM{\nagamarusan}\quad \makebox[7zw][l]{$4b^2$} \\ \hspace{-1zw} \NM{\nagamarushi}\quad $ab$ & \NM{\nagamarugo}\quad $\abs{ab}$ & \NM{\nagamaruroku}\quad $2ab$ & \NM{\nagamarushichi}\quad $2\abs{ab}$ \\ \hspace{-1zw} \NM{\nagamaruhachi}\quad $a^2-b^2$ & \NM{\nagamarukyu}\quad $b^2-a^2$ & \NM{\nagamaruA}\quad $\abs{a^2-b^2}$ & \NM{\nagamaruB}\quad $a^2 \leq b^2$ \\ \hspace{-1zw} \NM{\nagamaruC}\quad $a^2 \geq b^2$ & \NM{\nagamaruD}\quad $a \leq \abs{b}$ & \NM{\nagamaruE}\quad $\abs{a} \leq b$ & \NM{\nagamaruF}\quad $a \geq \abs{b}$ \\ \hspace{-1zw} \NM{\nagamaruG}\quad $\abs{a} \geq b$ & & & \end{tabular} \end{shomon} \vspace{4mm} \BK{\kagini} $\sankaku$ABCにおいて,$\text{AB}=5,\,\text{BC}=2\dsqrt{3},\,\text{CA}=4+\dsqrt{3}$とする。このとき, \[\h \cos\text{A}=\frac{\FBA{コ}}{\FBA{サ}}\] である。$\sankaku$ABCの面積は \[\h \frac{\FBA{シス}+\FBA{セ}\dsqrt{\FBA{ソ}}}{2}\] である。\\ \quad Bを通りCAに平行な直線と$\sankaku$ABCの外接円との交点のうち,Bと異なる方をDとするとき,$\text{BD}=\FBA{タ}-\dsqrt{\FBA{チ}}$であり,台形ADBCの面積は\FBA{ツテ}である。 \EK \end{document}