センター試験 数学Ⅰ・A 2003年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2003年度
問No 問1
学部
カテゴリ 二次関数 ・ 順列と組み合わせ ・ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}\quad (\textgt{必答問題})\quad (配点 \; 40)\\ \BK{\kagiichi} 2次関数 \[\h y=-2x^2+ax+b\] のグラフを$C$とする。$C$の頂点の座標が \[\h\SK{\raisebox{2pt}{$\dfrac{a}{\FBA{ア}},\,\dfrac{a^2}{\FBA{イ}}+b$}}\] の放物線である。$C$が点$(3,\,-8)$を通るとき, \[\h b=\FBA{ウエ}a+10\] が成り立つ。このときのグラフ$C$を考える。 \EK \begin{shomon} $C$が$x$軸と接するとき,$a=\FBA{オ}$または$a=\FBA{カキ}$である。$a=\FBAS{カキ}$のときの放物線は,$a=\FBAS{オ}$のときの放物線を$x$軸方向に\FBA{ク}だけ平行移動したものである。 \end{shomon} \begin{shomon} $C$の頂点の$y$座標の値が最小になるのは,$a=\FBA{ケコ}$のときで,このときの最小値は\FBA{サシ}である。 \end{shomon} \vspace{4mm} \BK{\kagini}\quad \begin{flushleft} \includegraphics[width=6cm,clip]{center2003-1a-1sankou1.eps} \end{flushleft} \vspace{4mm} \quad 一辺の長さが1の立方体の8個の頂点A,B,C,D,E,F,G,Hが図のような位置関係にあるとする。この8個の頂点から相異なる3点を選び,それらを頂点とする三角形をつくる。 \EK \begin{shomonr} 三角形は全部で\FBA{スセ}個できる。また,互いに合同でない三角形は全部で\FBA{ソ}種類ある。 \end{shomonr} \begin{shomonr} $\sankaku$ABCと合同になる確率は$\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チ}}$であり,また,正三角形になる確率は$\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}$である。 \end{shomonr} \begin{shomonr} 三角形の面積の期待値は$\dfrac{\FBA{ト}+\FBA{ナ}\dsqrt{2}+\dsqrt{3}}{\FBA{ニヌ}}$である。 \end{shomonr} \end{document}