センター試験 数学Ⅱ・B 2004年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2004年度
問No 問4
学部
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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1
現行課程範囲外です。
山田 慶太郎 さん 2009/08/29 13:34:53 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 複素数$z=x+yi\;(x,\,yは実数)$は$y\neq 0$を満たし,かつ$1,\,z,\,z^2,\,z^3$は相異なるとする。また$z$に共役な複素数を$\OL{z}=x-yi$とする。 \begin{shomon} 複素数平面において$1,\,z,\,z^2,\,z^3$の表す点をそれぞれA$_0$,A$_1$,A$_2$,A$_3$とする。線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外で交わる条件を求めよう。線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外の点Bで交わるとする。点Bを表す複素数を$w$とする。点Bが線分A$_0$A$_1$を$a:(1-a)$に内分していれば \[w=az+1-a\] と表される。ここで$0<a<1$である。点Bが線分A$_2$A$_3$を$b:(1-b)$に内分していれば \[w=bz^3+(1-b)z^2\] と表される。ここで$0<b<1$である。ゆえに \[bz^3+(1-b)z^2=az+1-a\] すなわち \[\SK{z-\FBA{ア}}\SK{\FBA{イ}z^2+z+1-\FBA{ウ}}=0\] である。$z$は実数ではないから \[z+\OL{z}=-\frac{1}{\FBA{エ}},\,z\OL{z}=\frac{1-\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\] である。これから$a$と$b$を$x$と$y$を用いて表すと \[a=\FBA{キ}+\frac{x^{\;\FBD{ク}}+y^{\;\FBD{ケ}}}{\FBA{コ}x},\,b=-\frac{1}{\FBA{サ}x}\] である。\\ \quad したがって,$0<a<1$,$0<b<1$より,線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外で交わる条件は \[x<\frac{\FBA{シス}}{\FBA{セ}}\quad かつ \quad \SK{x+\FBA{ソ}}^2+y^2<\FBA{タ} \] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $z^4$の表す点をA$_4$とする。$z$が\kakkoichi の条件を満たすとき,すなわち,線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外で交わるとき,線分A$_3$A$_4$と線分A$_1$A$_2$は両端以外で\FBA{チ}。\\ \quad \FBA{チ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruni}のうちから一つ選べ。\\[5pt] \NM{\nagamarurei}\quad 必ず交わる\\ \NM{\nagamaruichi}\quad 交わることはない\\ \NM{\nagamaruni}\quad 交わることも,交わらないこともある \end{shomon} \end{document}