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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2004年度 |
| 問No |
問4 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
複素数と方程式
|
| 状態 |
   |
全件表示
| No |
メッセージ |
投稿者 |
日時 |
|
|
| 1 |
現行課程範囲外です。 |
山田 慶太郎 さん
|
2009/08/29 13:34:53 |
|
報告
|
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第４問}}(配点 \; 20)\\
複素数$z=x+yi\;(x,\,yは実数)$は$y\neq 0$を満たし，かつ$1,\,z,\,z^2,\,z^3$は相異なるとする。また$z$に共役な複素数を$\OL{z}=x-yi$とする。
\begin{shomon}
複素数平面において$1,\,z,\,z^2,\,z^3$の表す点をそれぞれA$_0$，A$_1$，A$_2$，A$_3$とする。線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外で交わる条件を求めよう。線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外の点Bで交わるとする。点Bを表す複素数を$w$とする。点Bが線分A$_0$A$_1$を$a:(1-a)$に内分していれば
\[w=az+1-a\]
と表される。ここで$0<a<1$である。点Bが線分A$_2$A$_3$を$b:(1-b)$に内分していれば
\[w=bz^3+(1-b)z^2\]
と表される。ここで$0<b<1$である。ゆえに
\[bz^3+(1-b)z^2=az+1-a\]
すなわち
\[\SK{z-\FBA{ア}}\SK{\FBA{イ}z^2+z+1-\FBA{ウ}}=0\]
である。$z$は実数ではないから
\[z+\OL{z}=-\frac{1}{\FBA{エ}},\,z\OL{z}=\frac{1-\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\]
である。これから$a$と$b$を$x$と$y$を用いて表すと
\[a=\FBA{キ}+\frac{x^{\;\FBD{ク}}+y^{\;\FBD{ケ}}}{\FBA{コ}x},\,b=-\frac{1}{\FBA{サ}x}\]
である。\\
\quad
したがって，$0<a<1$，$0<b<1$より，線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外で交わる条件は
\[x<\frac{\FBA{シス}}{\FBA{セ}}\quad かつ \quad \SK{x+\FBA{ソ}}^2+y^2<\FBA{タ} \]
である。
\end{shomon}
\begin{shomon}
$z^4$の表す点をA$_4$とする。$z$が\kakkoichi の条件を満たすとき，すなわち，線分A$_0$A$_1$と線分A$_2$A$_3$が両端以外で交わるとき，線分A$_3$A$_4$と線分A$_1$A$_2$は両端以外で\FBA{チ}。\\
\quad
\FBA{チ}に当てはまるものを，次の\NM{\nagamarurei}～\NM{\nagamaruni}のうちから一つ選べ。\\[5pt]
\NM{\nagamarurei}\quad 必ず交わる\\
\NM{\nagamaruichi}\quad 交わることはない\\
\NM{\nagamaruni}\quad 交わることも，交わらないこともある
\end{shomon}
\end{document}
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