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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2004年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
微分法と積分法
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第２問}}(配点 \; 30)\\
\begin{shomon}
座標平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする。$a$は$a\neq 1$を満たす実数とし，$C$上に点P$(a+1,\,(a+1)^2)$と点Q$(2a,\,4a^2)$をとる。2点P，Qを通る直線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は
\[y=\SK{\FBA{ア}a+\FBA{イ}}x-\FBA{ウ}a^2-\FBA{エ}a\]
である。次に，$b$は$b\neq 1$，$b\neq a$を満たす実数として，2点
\[\text{R}(b+1,\,(b+1)^2),\,\text{S}(2b,\,4b^2)\]
を通る直線を$m$とする。直線$\ell,\,m$の交点Tは
\[\text{T}\SK{\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}(a+b+1),\,\FBA{キ}ab+\frac{\FBAS{オ}}{\FBAS{カ}}(a+b+1)}\]
である。よって，$b$を限りなく$a$に近づけるとき，点Tは限りなく点
\[\text{U}\SK{\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}a+\frac{\FBA{コ}}{\FBAS{ケ}},\,\FBA{サ}a^2+\frac{\FBAS{ク}}{\FBAS{ケ}}a+\frac{\FBAS{コ}}{\FBAS{ケ}}}\]
に近づく。
\end{shomon}
\begin{shomon}
\kakkoichi で求めた点Uは，$a$の値によらない放物線
\[D:y=\frac{\FBA{シ}x^2-\FBA{ス}x+\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}\]
上にある。さらに，点Uにおける放物線$D$の接線の傾きは$\FBA{タ}a+\FBA{チ}$である。放物線$D$の接線で原点Oを通るものは
\[y=x \quad と \quad y=\FBA{ツテ}x\]
の二つである。
\end{shomon}
\begin{shomon}
二つの放物線$C$，$D$の共有点の座標は$\SK{\FBA{ト},\,\FBA{ナ}}$である。放物線$C$，$D$および$y$軸で囲まれた部分の面積は$\dfrac{\FBA{ニ}}{\FBA{ヌ}}$である。
\end{shomon}
\end{document}
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