センター試験 数学Ⅱ・B 2004年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2004年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ \begin{shomon} 座標平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする。$a$は$a\neq 1$を満たす実数とし,$C$上に点P$(a+1,\,(a+1)^2)$と点Q$(2a,\,4a^2)$をとる。2点P,Qを通る直線を$\ell$とすると,$\ell$の方程式は \[y=\SK{\FBA{ア}a+\FBA{イ}}x-\FBA{ウ}a^2-\FBA{エ}a\] である。次に,$b$は$b\neq 1$,$b\neq a$を満たす実数として,2点 \[\text{R}(b+1,\,(b+1)^2),\,\text{S}(2b,\,4b^2)\] を通る直線を$m$とする。直線$\ell,\,m$の交点Tは \[\text{T}\SK{\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}(a+b+1),\,\FBA{キ}ab+\frac{\FBAS{オ}}{\FBAS{カ}}(a+b+1)}\] である。よって,$b$を限りなく$a$に近づけるとき,点Tは限りなく点 \[\text{U}\SK{\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}a+\frac{\FBA{コ}}{\FBAS{ケ}},\,\FBA{サ}a^2+\frac{\FBAS{ク}}{\FBAS{ケ}}a+\frac{\FBAS{コ}}{\FBAS{ケ}}}\] に近づく。 \end{shomon} \begin{shomon} \kakkoichi で求めた点Uは,$a$の値によらない放物線 \[D:y=\frac{\FBA{シ}x^2-\FBA{ス}x+\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}\] 上にある。さらに,点Uにおける放物線$D$の接線の傾きは$\FBA{タ}a+\FBA{チ}$である。放物線$D$の接線で原点Oを通るものは \[y=x \quad と \quad y=\FBA{ツテ}x\] の二つである。 \end{shomon} \begin{shomon} 二つの放物線$C$,$D$の共有点の座標は$\SK{\FBA{ト},\,\FBA{ナ}}$である。放物線$C$,$D$および$y$軸で囲まれた部分の面積は$\dfrac{\FBA{ニ}}{\FBA{ヌ}}$である。 \end{shomon} \end{document}