センター試験 数学Ⅱ・B 2004年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2004年度
問No 問1
学部
カテゴリ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} 不等式 \[\h \log_2(x-1)+\log_{\frac{1}{2}}(3-x) \leq 0\] を満たす$x$の範囲は$\FBA{ア} < x \leq \FBA{イ}$である。$x$がこの範囲にあるとき \[\h y=4^x-6\cdot2^x+10\] の最大値と最小値を求めよう。\\ \quad $X=2^x$とおくと,$X$のとる値の範囲は$\FBA{ウ}<X\leq\FBA{エ}$であり \[\h y=\SK{X-\FBA{オ}}{}^{\FBD{カ}}+\FBA{キ}\] である。したがって,$y$は$x=\FBA{ク}$のとき最大値\FBA{ケ}をとり,$x=\log_2\FBA{コ}$のとき最小値\FBA{サ}をとる。 \EK \vspace{2mm} \BK{\kagini} $a$を$\DO{0}<a<\DO{180}$を満たす角度とする。$\DO{0}\leq \theta \leq\DO{180}$の範囲で関数 \[\h f(\theta)=\sin(\theta-a)-\sin\theta \] を考える。 \EK \begin{shomon} 方程式 \[f(\theta)=0\] の解$\theta$は$a$を用いて \[\theta=\FBA{シス}\Shisu{\circ}+\frac{a}{2}\] と表される。さらに,この解$\theta$が$\sin(\theta-a)=\dfrac{1}{2}$を満たすならば \[a=\FBB{セソタ}\Shisu{\circ}\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $a$を\kakkoichi で求めた角度とするとき,関数$f(\theta)$は \[\theta=\FBB{チツテ}\Shisu{\circ}\; のとき最大値\;\;\frac{\dsqrt{\FBA{ト}}}{\FBA{ナ}}\] \[\theta=\FBA{ニヌ}\Shisu{\circ}\; のとき最小値\;\;-\sqrt{\FBA{ネ}}\] をとる。 \end{shomon} \end{document}