東北大学 前期理系 2005年度 問5

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期理系
年度 2005年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \pagestyle{empty} \begin{document} $a,b$ を $a^{2} \Noteq b^{2}$ を満たす $0$ でない実数とし,$A_{n}$ を次の関係式で定まる $2$ 次の正方行列とする. \[ A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & a^{-1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A_{n+1} \,\begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \,+\, \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \, A_{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad (n=1,2,3,\cdots) \] $(1)$~~$\displaystyle C = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ で \[ C \,\begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \,+\, \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \, C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] を満たすものを求めよ. \vspace{1mm} $(2)$~~$A_{n}$ を $a,~b,~n$ で表せ. \vspace{1mm} $(3)$~~$n \to \infty$ のとき $A_{n}$ のすべての成分が収束するための条件を求めよ. \end{document}