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解答作成者: 伊藤 愁一
入試情報
大学名 |
東北大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2005年度 |
問No |
問5 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 農学部
|
カテゴリ |
関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
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%\usepackage{bm}
\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}}
% math-italic の bold 体が使える.
% 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体
\newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\def\Noteq{\mathrel{%
\setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}}
\newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}}
\newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}}
\def\labelenumi{(\theenumi)}
\def\theenumi{\arabic{enumi}}
\def\theenumii{\roman{enumii}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
$a,b$ を $a^{2} \Noteq b^{2}$ を満たす $0$ でない実数とし,$A_{n}$ を次の関係式で定まる $2$ 次の正方行列とする.
\[
A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & a^{-1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
\[
A_{n+1} \,\begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \,+\, \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \, A_{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad (n=1,2,3,\cdots)
\]
$(1)$~~$\displaystyle C = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ で
\[
C \,\begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \,+\, \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \, C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
を満たすものを求めよ.
\vspace{1mm}
$(2)$~~$A_{n}$ を $a,~b,~n$ で表せ.
\vspace{1mm}
$(3)$~~$n \to \infty$ のとき $A_{n}$ のすべての成分が収束するための条件を求めよ.
\end{document}