東京工業大学 前期 2002年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2002年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=130mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[7mm][c] {\textbf{\Large#1\hspace*{.5pt}}}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\Nbr{4}\ \ \paalen{60点} \\[3mm]% $n\ を自然数とする。\\[2mm] (1)\ \ 次の極限を求めよ。\displaystyle \\[2mm] \hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ \log n\ }\biggl(1+\frac{1}{\ 2\ } +\frac{1}{\ 3\ }+\cdot\!\cdot\!\cdot+\frac{1}{\ n\ }\biggr) \\[8mm] (2)\ \ 関数y=x\,(\,x-1\,)\,(\,x-2\,)\cdot\!\cdot\!\cdot(\,x-n\,) の極値を 与えるxの最小値をx_n\,とす \\[1mm]\quad る。このとき \\[2mm] \hspace*{6zw} \frac{1}{\ x_n\,}=\frac{1}{\ 1-\!x_n\,}+\frac{1}{\ 2-\!x_n\,} +\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!+\frac{1}{\ n-\!x_n\,} \\[2mm] \quad および0<x_n\leqq\frac{1}{\ 2\ }\,を示せ。\\[8mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}のx_n\,に対して,極限 \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} x_n \log n \\[1.5mm] \quad を求めよ。$ \end{document}