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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
東京工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2002年度 |
問No |
問4 |
学部 |
理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
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カテゴリ |
関数と極限
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状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=130mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[7mm][c]
{\textbf{\Large#1\hspace*{.5pt}}}}}
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-2zw}\Nbr{4}\ \ \paalen{60点} \\[3mm]%
$n\ を自然数とする。\\[2mm]
(1)\ \ 次の極限を求めよ。\displaystyle \\[2mm]
\hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ \log n\ }\biggl(1+\frac{1}{\ 2\ }
+\frac{1}{\ 3\ }+\cdot\!\cdot\!\cdot+\frac{1}{\ n\ }\biggr) \\[8mm]
(2)\ \ 関数y=x\,(\,x-1\,)\,(\,x-2\,)\cdot\!\cdot\!\cdot(\,x-n\,) の極値を
与えるxの最小値をx_n\,とす \\[1mm]\quad る。このとき \\[2mm]
\hspace*{6zw} \frac{1}{\ x_n\,}=\frac{1}{\ 1-\!x_n\,}+\frac{1}{\ 2-\!x_n\,}
+\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!+\frac{1}{\ n-\!x_n\,} \\[2mm]
\quad および0<x_n\leqq\frac{1}{\ 2\ }\,を示せ。\\[8mm]
\raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}のx_n\,に対して,極限 \\[1.5mm]
\hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} x_n \log n \\[1.5mm]
\quad を求めよ。$
\end{document}