大阪大学 文系 2009年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2009年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 曲線 $C : y = x^3 - kx\,\,\,(kは実数)$ を考える. $C$ 上に点$\A(a,\,\,a^3 - ka)\,\,\,(a \neq 0)$をとる. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点Aにおける $C$ の接線を $l_1$ とする. $l_1$ と $C$ のA以外の交点をBとする. Bの$x$座標を求めよ. \item  点Bにおける $C$ の接線を $l_2$ とする. $l_1$ と $l_2$ が直交するとき, $a$ と $k$ がみたす条件を求めよ. \item  $l_1$ と $l_2$ が直交する $a$ が存在するような $k$ の値の範囲を求めよ.\\ \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2009年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 曲線 $C : y = x^3 - kx\,\,\,(kは実数)$ を考える. $C$ 上に点$\A(a,\,\,a^3 - ka)\,\,\,(a \neq 0)$をとる. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点Aにおける $C$ の接線を $l_1$ とする. $l_1$ と $C$ のA以外の交点をBとする. Bの$x$座標を求めよ. \item  点Bにおける $C$ の接線を $l_2$ とする. $l_1$ と $l_2$ が直交するとき, $a$ と $k$ がみたす条件を求めよ. \item  $l_1$ と $l_2$ が直交する $a$ が存在するような $k$ の値の範囲を求めよ.\\ \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 平面上の三角形OABを考え, \[ \veca = \OA,\quad \vecb = \OB,\quad t = \frac{\zettaiti{\veca}}{\,2\zettaiti{\vecb}\,} \] とおく. 辺OAを$1 : 2$に内分する点をCとし,\smallskip $\OD = t\vecb$ となる点をDとする. $\AD$ と $\OB$ が直交し, $\BC$ と $\OA$ が直交するとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\angle\A\O\B$を求めよ. \item  $t$ の値を求めよ. \item  ADとBCの交点をPとするとき, $\OP$ を $\veca,\,\,\vecb$ を用いて表せ.\\ \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 次のような,いびつなさいころを考える.\smallskip 1,\,\,2,\,\,3の目が出る確率はそれぞれ$\dfrac{1}{6}$,\\ 4の目が出る確率は $a$,\smallskip 5,\,\,6の目が出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{4} - \dfrac{a}{2}$ である. ただし,$0 \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}$ とする.\smallskip このさいころを振ったとき, 平面上の$(x,\,\,y)$にある点Pは, 1,\,\,2,\,\,3のいずれかの目が出ると$(x+1,\,\,y)$に, 4の目が出ると$(x,\,\,y+1)$に, 5,\,\,6のいずれかの目が出ると$(x-1,\,\,y-1)$に移動する. 原点$(0,\,\,0)$にあったPが, $k$回さいころを振ったときに$(2,\,\,1)$にある確率を $p_k$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $p_1,\,\,p_2,\,\,p_3$ を求めよ. \item  $p_6$ を求めよ. \item  $p_6$ が最大になるときの $a$ の値を求めよ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \end{document}