大阪大学 前期理系 2009年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2009年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots$ に対して,\smallskip $y = \log(nx)$ と $\left(x - \dfrac{1}{n} \right)^{\!\! 2} + y^2 = 1$ の 交点のうち第1象限にある点を$(p_n,\,\,q_n)$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  不等式 $1 - {q_n}^2 \leqq \dfrac{(e - 1)^2}{n^2}$ を示すことにより, $\lim\limits_{n \to \infty} q_n = 1$ を証明せよ.\smallskip ただし,$e$ は自然対数の底である. \item  $S_n = \displaystyle \int_\frac{1}{n}^{p_n} \log(nx)\,dx$ を $p_n$ で表せ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}