解答を見る
解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2009年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
数列 ・ 微分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
\setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\oddsidemargin}{2.5mm}
\setlength{\textwidth}{420pt}
\setlength{\textheight}{700pt}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{delarray}
\usepackage{multicol}
\usepackage{amscd}
\usepackage{pifont}
\usepackage{color}
\ExecuteOptions{usename}
\usepackage{vector3}
\usepackage{custom_mori}
\begin{document}
\setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw}
\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
放物線 $C : y = x^2$ 上の点$\A_1(a_1,\,\,a_1^2),\,\,
\A_2(a_2,\,\,a_2^2),\,\,\A_3(a_3,\,\,a_3^2),\,\,\cdots$を,\\
$\A_{k+2}\,\,\,(k \geqq 1)$における $C$ の接線が直線$\A_k\A_{k+1}$に
平行であるようにとる.ただし,$a_1 < a_2$ とする.
三角形$\A_k\A_{k+1}\A_{k+2}$の面積を $T_k$ とし,
直線$\A_1\A_2$と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする.
このとき次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\dfrac{T_{k+1}}{T_k}$ を求めよ.
\item
$\lim\limits_{n \to \infty}
\sum\limits_{k=1}^n T_k$ を $S$ を用いて表せ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2009年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
放物線 $C : y = x^2$ 上の点$\A_1(a_1,\,\,a_1^2),\,\,
\A_2(a_2,\,\,a_2^2),\,\,\A_3(a_3,\,\,a_3^2),\,\,\cdots$を,\\
$\A_{k+2}\,\,\,(k \geqq 1)$における $C$ の接線が直線$\A_k\A_{k+1}$に
平行であるようにとる.ただし,$a_1 < a_2$ とする.
三角形$\A_k\A_{k+1}\A_{k+2}$の面積を $T_k$ とし,
直線$\A_1\A_2$と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする.
このとき次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\dfrac{T_{k+1}}{T_k}$ を求めよ.
\item
$\lim\limits_{n \to \infty}
\sum\limits_{k=1}^n T_k$ を $S$ を用いて表せ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
行列 $A = \dfrac{1}{2}\!
\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\[3mm]
\sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix}$ の
表す1次変換を $f$ とする.\smallskip
点$\P(16\sqrt{\vphantom{b} 3},\,\,16)$をとり,
$\P_1 = f(\P),\,\,\,\P_{n+1} = f(\P_n)\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ と
する.
正の整数 $k$ に対して,次の条件をみたす領域を $D_k$ とする.
\[
x < 0,\quad
y < 0,\quad
\sqrt{\vphantom{b} 3}\,x + y \leqq -2^{-k}
\]
このとき $D_k$ に含まれる$\P_n$の個数を $k$ で表せ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$\alpha$ を2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解とするとき,
$(a + 5\alpha)(b + 5c\alpha) = 1$ をみたす整数の組$(a,\,\,b,\,\,c)$を
すべて求めよ.
ただし,必要ならば$\sqrt{\vphantom{b} 2}$が無理数であることは証明せずに
用いてよい.
\hfill(配点率20%)
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
平面上の三角形OABを考え,
辺ABの中点をMとする.
\[
\veca = \frac{\OA}{\,\zettaiti{\OA}\,},\quad
\vecb = \frac{\OB}{\,\zettaiti{\OB}\,}
\]
とおき,
点Pを $\veca \cdot \OP = -\vecb \cdot \OP > 0$ であるようにとる.
直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\bekutoru{$\M\Q$}$ と $\vecb$ は平行であることを示せ.
\item
$\zettaiti{\bekutoru{$\M\Q$}}
= \dfrac{1}{2}\Big(\zettaiti{\OA} + \zettaiti{\OB} \Big)$ であることを示せ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
$n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots$ に対して,\smallskip
$y = \log(nx)$ と $\left(x - \dfrac{1}{n} \right)^{\!\! 2} + y^2 = 1$ の
交点のうち第1象限にある点を$(p_n,\,\,q_n)$とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
不等式 $1 - q_n^2 \leqq \dfrac{(e - 1)^2}{n^2}$ を示すことにより,
$\lim\limits_{n \to \infty} q_n = 1$ を証明せよ.\smallskip
ただし,$e$ は自然対数の底である.
\item
$S_n = \displaystyle
\int_\frac{1}{n}^{p_n} \log(nx)\,dx$ を $p_n$ で表せ.
\item
$\lim\limits_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\end{document}