大阪大学 前期理系 2009年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2009年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 数列 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 放物線 $C : y = x^2$ 上の点$\A_1(a_1,\,\,a_1^2),\,\, \A_2(a_2,\,\,a_2^2),\,\,\A_3(a_3,\,\,a_3^2),\,\,\cdots$を,\\ $\A_{k+2}\,\,\,(k \geqq 1)$における $C$ の接線が直線$\A_k\A_{k+1}$に 平行であるようにとる.ただし,$a_1 < a_2$ とする. 三角形$\A_k\A_{k+1}\A_{k+2}$の面積を $T_k$ とし, 直線$\A_1\A_2$と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする. このとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\dfrac{T_{k+1}}{T_k}$ を求めよ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n T_k$ を $S$ を用いて表せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2009年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 放物線 $C : y = x^2$ 上の点$\A_1(a_1,\,\,a_1^2),\,\, \A_2(a_2,\,\,a_2^2),\,\,\A_3(a_3,\,\,a_3^2),\,\,\cdots$を,\\ $\A_{k+2}\,\,\,(k \geqq 1)$における $C$ の接線が直線$\A_k\A_{k+1}$に 平行であるようにとる.ただし,$a_1 < a_2$ とする. 三角形$\A_k\A_{k+1}\A_{k+2}$の面積を $T_k$ とし, 直線$\A_1\A_2$と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする. このとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\dfrac{T_{k+1}}{T_k}$ を求めよ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n T_k$ を $S$ を用いて表せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 行列 $A = \dfrac{1}{2}\! \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\[3mm] \sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix}$ の 表す1次変換を $f$ とする.\smallskip 点$\P(16\sqrt{\vphantom{b} 3},\,\,16)$をとり, $\P_1 = f(\P),\,\,\,\P_{n+1} = f(\P_n)\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ と する. 正の整数 $k$ に対して,次の条件をみたす領域を $D_k$ とする. \[ x < 0,\quad y < 0,\quad \sqrt{\vphantom{b} 3}\,x + y \leqq -2^{-k} \] このとき $D_k$ に含まれる$\P_n$の個数を $k$ で表せ. \hfill(配点率20%) \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\alpha$ を2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解とするとき, $(a + 5\alpha)(b + 5c\alpha) = 1$ をみたす整数の組$(a,\,\,b,\,\,c)$を すべて求めよ. ただし,必要ならば$\sqrt{\vphantom{b} 2}$が無理数であることは証明せずに 用いてよい. \hfill(配点率20%) \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 平面上の三角形OABを考え, 辺ABの中点をMとする. \[ \veca = \frac{\OA}{\,\zettaiti{\OA}\,},\quad \vecb = \frac{\OB}{\,\zettaiti{\OB}\,} \] とおき, 点Pを $\veca \cdot \OP = -\vecb \cdot \OP > 0$ であるようにとる. 直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\bekutoru{$\M\Q$}$ と $\vecb$ は平行であることを示せ. \item  $\zettaiti{\bekutoru{$\M\Q$}} = \dfrac{1}{2}\Big(\zettaiti{\OA} + \zettaiti{\OB} \Big)$ であることを示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots$ に対して,\smallskip $y = \log(nx)$ と $\left(x - \dfrac{1}{n} \right)^{\!\! 2} + y^2 = 1$ の 交点のうち第1象限にある点を$(p_n,\,\,q_n)$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  不等式 $1 - q_n^2 \leqq \dfrac{(e - 1)^2}{n^2}$ を示すことにより, $\lim\limits_{n \to \infty} q_n = 1$ を証明せよ.\smallskip ただし,$e$ は自然対数の底である. \item  $S_n = \displaystyle \int_\frac{1}{n}^{p_n} \log(nx)\,dx$ を $p_n$ で表せ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}