センター試験 数学Ⅰ・A 2004年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2004年度
問No 問4
学部
カテゴリ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\ 1辺の長さが1の正方形ABCDの辺BCを$1:3$に内分する点をEとする。Dを中心とする半径1の円と,線分DEとの交点をFとする。点Fにおけるこの円Dの接線と辺AB,BCとの交点をそれぞれG,Hとする。さらに直線GEと直線BDとの交点をIとする。\FBA{キ}~\FBA{サ}には,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruF}のうちから正しいものを一つずつ選べ。\\[-5pt] \begin{tabular}{llllll} \hspace{-1.7zw}\NM{\nagamarurei}\quad \makebox[4zw][l]{EH} & \NM{\nagamaruichi}\quad \makebox[4zw][l]{FD} & \NM{\nagamaruni}\quad \makebox[4zw][l]{FE} & \NM{\nagamarusan}\quad \makebox[4zw][l]{GE} & \NM{\nagamarushi}\quad \makebox[4zw][l]{GF} & \NM{\nagamarugo}\quad GH \\ \hspace{-1.7zw}\NM{\nagamaruroku}\quad GI & \NM{\nagamarushichi}\quad GJ & \NM{\nagamaruhachi}\quad IE & \NM{\nagamarukyu}\quad JB & \NM{\nagamaruA}\quad BEI & \NM{\nagamaruB}\quad BIE \\ \hspace{-1.7zw}\NM{\nagamaruC}\quad EBI & \NM{\nagamaruD}\quad EFG & \NM{\nagamaruE}\quad FEG & \NM{\nagamaruF}\quad FGE & & \end{tabular} \vspace{2mm} \begin{center} \includegraphics[width=8cm,clip]{center2004-1a-4sankou1.eps} \end{center} \vspace{2mm} \begin{shomon} 点Iが$\sankaku$BGHの内心であることを示す。EはBCを$1:3$に内分するから \[\text{EC}=\frac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}}\] である。$\sankaku$ECDにおいて三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いれば \[\text{ED}=\frac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}\] となる。よって$\text{EF}=\dfrac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}$である。\\ \quad $\sankaku$GBEと$\sankaku$GFEは直角三角形で,斜辺GEを共有し,$\text{BE}=\FBA{キ}$であるから\\$\Sankaku{GBE}\godo\Sankaku{GFE}$が成り立つ。ゆえに$\Kaku{BGE}=\Kaku{\FBA{ク}}$となる。一方, \[\Kaku{GBI}=\DO{45}=\Kaku{\FBA{ケ}}\] であるからIは$\sankaku$BGHの内心であることがわかる。 \end{shomon} \begin{shomon} 次に,$\sankaku$BGHの内接円Iの半径$r$を求める。$\text{GA}=\text{GF}=\text{GB}$なので,GはABの中点であることがわかる。IからGBに下ろした垂線とGBとの交点をJとする。$\text{JI}=\FBA{コ}=r$であってJI$\parallel$BEであるから \[\text{GB}:\text{BE}=\FBA{サ}:\text{JI}\] が成り立つ。ゆえに$r=\dfrac{\FBA{シ}}{\FBA{ス}}$となる。 \end{shomon} \end{document}