北海道大学 前期理系 2005年度 問3

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期理系
年度 2005年度
問No 問3
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\labelenumii{(\theenumii)} \def\labelenumiii{(\theenumiii)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \def\theenumiii{\alph{enumiii}} \pagestyle{empty} \begin{document} $f(x)$ は最高次の係数が $1$ の整式とする. \begin{enumerate} \item 自然数 $n,m$ に対し,$\displaystyle \int_{0}^{n} t^{m}dt \leqq \sum_{k=1}^{n} k^{m} \leqq \int_{0}^{n} (t+1)^{m}dt$~を示せ. \vspace{1mm} \item $f(x)$ の次数を $r$ とするとき,次が成り立つことを示せ. \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\,n^{r+1}\,} \sum_{k=1}^{n} f(k) =\dfrac{1}{\,r+1\,} \] \vspace{1mm} \item すべての自然数 $n$ に対して$\displaystyle \dfrac{1}{\,n\,}\,\sum_{k=1}^{n}f(k) = \dfrac{1}{\,2\,} f(n)$~が成り立つような $f(x)$ を求めよ. \end{enumerate} \end{document}