センター試験 数学Ⅱ・B 2005年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2005年度
問No 問4
学部
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
現行課程範囲外の複素数平面の問題です。
数ⅡBの方は第3問までだと全部解いても100点にならず,
気持ちが悪いので作成しました。

受験生の方はなかなか取り組む余裕がないと思いますが,
それ以外の方で興味のある方は,
勉強してみると面白い分野だと思います。
一次変換がなかった時期には,
回転や対称移動に複素数平面が大活躍でした。
山田 慶太郎 さん 2009/08/19 02:35:45 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 二つの複素数$p,\,q$と三つの異なる複素数$\alpha,\,\beta,\,\gamma$は\\[-10pt] \begin{align*} \alpha+\beta+\gamma &=0 &\Cdots\maruichi \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha &=p &\Cdots\maruni \\ \alpha\beta\gamma &=q &\Cdots\marusan \end{align*} を満たすとする。複素数$\alpha,\,\beta,\,\gamma$が複素数平面上で表す点をそれぞれA,B,Cとし,三角形ABCは$\text{AB}=\text{AC}$の直角二等辺三角形であるとする。\\ \quad このとき \[\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\pm\FBA{アイ}\Shisu{\circ},\,\abs{\frac{\vphantom{2^2_2}\gamma-\alpha}{\vphantom{2^2_2}\beta-\alpha}}=\FBA{ウ}\] である。ここで,複素数$z$の偏角$\arg z$は$-\DO{180}\leq\arg z <\DO{180}$を満たすとする。\\ \quad 以下$\arg\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\FBAS{アイ}\Shisu{\circ}$であるとする。このとき,\mruichi を用いると \[\beta=\frac{\FBA{エオ}+\FBA{カ}i}{\FBA{キ}}\alpha,\,\gamma=\frac{\FBA{クケ}-\FBA{コ}i}{\FBA{サ}}\alpha\] である。さらに,\mruni ,\mrusan から \[p=\frac{\FBA{シ}}{\FBA{ス}}\alpha^{\;\FBD{セ}},\,q=\frac{\FBA{ソ}}{\FBA{タ}}\alpha^{\;\FBD{チ}}\] である。したがって,$p$と$q$は \[\FBA{ツテ}p^{\;\FBD{ト}}=\FBA{ナニ}q^{\;\FBD{ヌ}}\] を満たさなければならない。\\ \quad さらに,複素数平面上に点Dがあり,四角形ABDCが正方形であるとき,Dを表す複素数は\FBA{ネノ}$\alpha$である。 \end{document}