センター試験 数学Ⅱ・B 2005年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2005年度
問No 問3
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ 座標平面上の3点O$(0,\,0)$,P$(4,\,0)$,Q$(0,\,3)$を頂点とする三角形OPQの内部に三角形ABCがあるとする。A,B,Cから直線OQに引いた垂線とOQとの交点をそれぞれA$_1$,B$_1$,C$_1$とする。A,B,Cから直線OPに引いた垂線とOPとの交点をそれぞれA$_2$,B$_2$,C$_2$とする。A,B,Cから直線PQに引いた垂線とPQとの交点をそれぞれA$_3$,B$_3$,C$_3$とする。\\ \quad A$_1$が線分B$_1$C$_1$の中点であり,B$_2$が線分A$_2$C$_2$の中点であり,C$_3$が線分A$_3$B$_3$の中点であるとする。 \begin{center} \includegraphics[width=8cm,clip]{center2005-2b-3sankou1.eps} \end{center} $\Vec{AB}=(x,\,y)$,$\Vec{AC}=(z,\,w)$とおく。A$_1$が線分B$_1$C$_1$の中点であるから$w=\FBA{ア}y$である。B$_2$が線分A$_2$C$_2$の中点であるから$z=\FBA{イ}x$である。線分ABの中点をDとすると,C$_3$が線分A$_3$B$_3$の中点であるから \[\Vec{CD}\cdot\Vec{PQ}=\FBA{ウ}\] である。また \[\Vec{PQ}=\SK{\FBA{エオ},\,\FBA{カ}},\,\Vec{CD}=\frac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}\SK{\Vec{AB}-\FBA{ケ}\Vec{AC}}\] であるから \[y=\frac{\FBA{コサ}}{\FBA{シ}}x\] である。したがって \[\Vec{AB}=x\SK{1,\,\frac{\FBAS{コサ}}{\FBAS{シ}}},\,\Vec{AC}=x\SK{\FBAS{イ},\,\frac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}}\] である。ゆえに \[\text{AC}=\frac{\FBA{ソ}\sqrt{\FBA{タチ}}}{\FBA{ツ}}\text{AB},\,\cos\Kaku{BAC}=\frac{\sqrt{\FBA{テト}}}{\FBA{ナニ}}\] である。 \end{document}