センター試験 数学Ⅱ・B 2005年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2005年度
問No 問1
学部
カテゴリ 二次関数 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} 座標平面上の3点 \[\h \text{A}(-1,\,0),\,\text{B}(\cos\theta,\,\sin\theta),\,\text{C}(\cos2\theta,\,2\sin\theta)\] について,$\theta$が$\DO{0}\leq\theta\leq\DO{180}$の範囲を動くとき \[\h d=\text{AC}+\text{BC}\] の最大値と最小値を求めよう。 \EK \begin{shomon} \begin{align*} \text{AC}^2 &=\FBA{ア}+2\cos2\theta \\ &=\FBA{イ}\cos^2\theta \\ \text{BC}^2 &=\FBA{ウ}-2\cos\theta \\ &=\FBA{エ}\sin^2\frac{\theta}{2} \end{align*} であるから \[d=\FBA{オ}\abs{\cos\theta}+\FBA{カ}\sin\frac{\theta}{2}\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $t=\sin\dfrac{\theta}{2}$とおく。\\[4pt] \quad $\DO{0}\leq\theta\leq\DO{90}$のとき\\ $0\leq t \leq \dfrac{\sqrt{\FBA{キ}}}{\FBA{ク}}$であり,$d=-\FBA{ケ}t^2+\FBA{コ}+2$である。\\ \quad $\DO{90}\leq\theta\leq\DO{180}$のとき\\ $\dfrac{\sqrt{\FBAS{キ}}}{\FBAS{ク}}\leq t \leq 1$であり,$d=\FBAS{ケ}t^2+\FBAS{コ}-2$である。\\ \quad したがって,$d$は$t=\dfrac{\sqrt{\FBA{サ}}}{\FBA{シ}}$のとき最小値$\sqrt{\FBA{ス}}$をとり,このときの$\theta$の値は$\FBA{セソ}\Shisu{\circ}$である。また,$d$は$t=\FBA{タ}$のとき最大値$\FBA{チ}$をとり,このときの$\theta$の値は$\FBB{ツテト}\Shisu{\circ}$である \end{shomon} \vspace{2mm} \BK{\kagini} $x,\,y,\,z$は正の数で$2^x=\SK{\dfrac{5}{2}}^y=3^z$を満たしているとする。このとき \[\h a=2x,\,b=\dfrac{5}{2}y,\,c=3z\] とおき,$a,\,b,\,c$の大小関係を調べよう。 \EK \begin{shomonr} $x=y\SK{\log_2\FBA{ナ}-\FBA{ニ}}$であるから \[b-a=y\SK{\frac{\FBA{ヌ}}{2}-2\log_2\FBAS{ナ}}\] である。したがって,$a$と$b$を比べると\FBA{ネ}の方が大きい。 \end{shomonr} \begin{shomonr} $x=z\log_2\FBA{ノ}$であるから \[c-a=z\SK{3-2\log_2\FBAS{ノ}}\] である。したがって,$a$と$c$を比べると\FBA{ハ}の方が大きい。 \end{shomonr} \begin{shomonr} $3^5<\SK{\dfrac{5}{2}}^6$であることを用いると,$a,\,b,\,c$の間には大小関係 \[\FBA{ヒ}<\FBA{フ}<\FBA{ヘ}\] が成り立つことがわかる。 \end{shomonr} \end{document}