センター試験 数学Ⅰ・A 2005年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2005年度
問No 問4
学部
カテゴリ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\ $\sankaku$ABCにおいて,$\Kaku{A}$は鈍角で,$\Kaku{B}=\DO{30}$である。点Cから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。辺BCの中点をMとし,直線ACは3点A,B,Mを通る円と点Aで接しているとする。\\ \quad 下の\FBA{ア}~\FBA{ウ},\FBA{オ},\FBA{ク}については,最も適当なものを次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruF}のうちから一つずつ選べ。\\[-5pt] \begin{flushleft} \begin{tabular}{lll} \NM{\nagamarurei}\quad \makebox[11zw][l]{鋭角三角形} & \NM{\nagamaruichi}\quad \makebox[11zw][l]{直角二等辺三角形} & \NM{\nagamaruni}\quad \makebox[11zw][l]{二等辺三角形}\\ \NM{\nagamarusan}\quad 正三角形 & \NM{\nagamarushi}\quad 直角三角形 & \\ \\ \NM{\nagamarugo}\quad ABC & \NM{\nagamaruroku}\quad AMB & \NM{\nagamarushichi}\quad HMC \\ \NM{\nagamaruhachi}\quad MAB & \NM{\nagamarukyu}\quad MCA & \\ \\ \NM{\nagamaruA}\quad AB & \NM{\nagamaruB}\quad AC & \NM{\nagamaruC}\quad AM \\ \NM{\nagamaruD}\quad BC & \NM{\nagamaruE}\quad BH & \NM{\nagamaruF}\quad CH \end{tabular} \end{flushleft} \vspace{4mm} \H\H\H\H 参考図 \begin{center} \includegraphics[width=11.5cm,bb=0 10 327 170]{center2005-1a-4sankou1.eps} \end{center} \vspace{2mm} 直角三角形HBCにおいて$\Kaku{HBC}=\DO{30}$なので,$\text{BC}=2\FBA{ア}$である。一方\\$\Kaku{MAC}=\angle\FBA{イ}$なので,$\sankaku$MACと$\sankaku$\FBAS{イ}は相似になる。したがって \[\text{AC}^2=\text{MC}\cdot\FBA{ウ}\] となる。Mは辺BCの中点なので \[\text{AC}=\sqrt{\FBA{エ}}\text{CH}\] が成り立つ。したがって$\sankaku$HACは\FBA{オ}であり,$\Kaku{AMB}=\FBA{カキ}\Shisu{\circ}$となる。\\ \quad ACとHMの交点をK,直線BKとHCの交点をLとする。$\sankaku$HBKと$\sankaku$BCKの面積比は$\text{HL}:\text{LC}$であり,$\sankaku$CHKと$\sankaku$BCKの面積比は \[\Sankaku{CHK}:\Sankaku{BCK}=\text{HA}:\FBA{ク}\] である。また,Mは辺BCの中点だから,$\sankaku$HBKと$\sankaku$CHKの面積は等しい。ゆえに,\\$\text{HL}:\text{LC}=\text{HA}:\FBAS{ク}$が成り立つ。\\ \quad したがって$\sankaku$HALと$\sankaku$HBCの面積比は \[\Sankaku{HAL}:\Sankaku{HBC}=1:\FBA{ケ}\] となる。 \end{document}