早稲田大学 教育学部<理科系> 2003年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2003年度
問No 問1
学部 教育学部
カテゴリ 数列 ・ 関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\edubox#1{{\setlength{\fboxrule}{.6pt}\setlength{\fboxsep}{1.7mm}\framebox [11mm][c]{\textbf{\small#1}}} } \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{136mm}{\ \ 次の\ \raisebox{3.1pt} {\fboxrule=.6pt\fboxsep=7.7pt\framebox[11mm][c]{\textbf{}}} にあてはまる数 または式を解答用紙の所定欄に記入せよ。\\[6mm]% \hspace*{-4pt}(\raisebox{-1pt}{\hspace*{-1pt}\textgt{1}})\ \ 次の行列$Aの(1,2)成分は\ \,\edubox{ア}\ \,である。\displaystyle \\[3mm] \hspace*{8zw} A\,=\,\left(\!\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \!\right)\left(\!\begin{array}{cc} \cos^2 \theta & \sin^2 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \end{array}\!\right)^{\!2003} \left(\begin{array}{cc} 6 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)^{\!219} \\[5mm] \hspace*{-4pt}(\raisebox{-1pt}{\textgt{2}})\ \ 自然数nに対して \\[4mm] \hspace*{8zw} I_n=\int_{-1}^1 |x^3-x+\frac{x}{n}|\,dx -\int_{-1}^1 |x^3-x|\,dx \\[3mm] \quad とおく。このとき,\ \,\lim_{n\to\infty} nI_n\,=\ \edubox{イ}\ \,である。 \\[6mm] \hspace*{-4pt}(\raisebox{-1pt}{\textgt{3}})\ \ 1桁の数a=0,1,\cdots,9に対して, \ \,9\hspace*{-1pt}-\hspace*{-1pt}aをaの補数といい,\ \,\overline{a}\,で表す。 \ \, 2桁以上 \\[.5mm] \quad の\makebox[13pt][c]{10}進数kについては,\ 各\hspace*{-.5pt}桁\hspace* {-.5pt}を\hspace*{-.5pt}そ\hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}補\hspace*{-.5pt}数 \hspace*{-.5pt}で\hspace*{-.5pt}置\hspace*{-.5pt}き\hspace*{-.5pt}換\hspace* {-.5pt}え\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}数\hspace*{-.5pt}をkの補数といい,\ \,\overline{k}\,で表 \\[.5mm] \quad す。\ \ |\hspace*{-1pt}|\makebox[1zw][c]{$k$}|\hspace*{-1pt}|でkの桁数を 表すとき,数列\{x_n^{(a)}\}を \\[3.5mm] \hspace*{8zw} \left\{\begin{array}{l@{\ =\ }l} x_1^{(a)} & a \\ x_{n+1}^{(a)} & 10^{\,||x_n^{(a)}||}\times x_n^{(a)}+\overline{\,x_n^{(a)}} \quad\ (n=1,\,2,\cdots)\end{array}\right. \\[3.5mm] \quad で定める。\ aが0以外の1桁の数のとき,\ x_n^{(a)}+\overline{x_n^{(a)}}+1 をnを用いて表すと\ \edubox{ウ} \\[.5mm] \quad となる。\left.また,\ \,x_n^{(3)}-x_n^{(2)}\,が9^m\,で割り切れるとき, \ \,mの最大値は\ \edubox{エ}\ である。\right.\\[1.5mm] \quad ただし,\ \ mは0以上の整数の範囲で考える。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[2mm] \makebox[16.7zw][l]{(\raisebox{-1pt}{\hspace*{-1pt}\textgt{1}})\hfill $\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr)\!\biggl(\begin{array}{cc} \cos^2 \theta & \sin^2 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \end{array} \biggr)$}=\biggl(\begin{array}{cc} \cos^2 \theta+\sin^2 \theta & \sin^2 \theta+\cos^2 \theta \\ 0 & 0 \end{array}\biggr) \\ \hspace*{16.7zw} =\biggl(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr) \\[1.5mm] \hspace*{4zw} \biggl(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr)\! \biggl(\begin{array}{cc} 6 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\biggr) =\biggl(\begin{array}{cc} 6+9 & 7+8 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr) =15\biggl(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr) \\[1mm] \quad であるから,\\[.5mm] \makebox[5zw][r]{$A$}=\biggl(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)\!\biggl(\begin{array}{cc} \cos^2 \theta & \sin^2 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \end{array}\biggr)^{\!2003} \biggl(\begin{array}{cc} 6 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\biggr)^{\!219} \\[1mm] \hspace*{5zw} =\biggl(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr)\! \biggl(\begin{array}{cc} 6 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\biggr)^{\!219}\! =15^{\,219}\biggl(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\biggr)\\[1mm] \quad となって,\ \ (1,\ 2)成分は\ \underset{(ア)}{\ansbox{15^{\,219}}}\ である。 \\[3mm] \quad\paalen{注}\ \ 指数の増加は激しく,単純に考えて10^{\,219}\,でさえ220桁 あるわけだから,\\ \qquad\, 15^{\,219}\,の具体的な計算結果は出せないと判断すべきである。\\[10mm]% \makebox[4zw][l]{(\raisebox{-1pt}{\textgt{2}})\hfill $I_n$} =\int_{-1}^1\left|\, x\Bigl(x+\sqrt{1-\frac{1}{\,n\,}}\,\Bigr) \Bigl(x-\sqrt{1-\frac{1}{\,n\,}}\,\Bigr)\right|\,dx -\!\int_{-1}^1 |\,x(x+1)(x-1)|\,dx \\[1.5mm] \hspace*{4zw} =2\,\Biggl\{\int_{\,0}^{\sqrt{1-\frac{1}{\,n\,}}} \Bigl(-x^3+x-\frac{\,x\,}{n}\Bigr)\,dx+\int_{\sqrt{1-\frac{1}{\,n\,}}}^{\ 1} \Bigl(x^3-x+\frac{\,x\,}{n}\Bigr)\,dx\Biggr\} \\[-.5mm] \hspace*{7zw} -2\!\int_0^1 (-x^3+x)\,dx \\[1.5mm] \hspace*{4zw} =2\left[\,-\frac{1}{\,4\,}x^4+\frac{1}{\,2\,}\Bigl( 1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr)x^2\,\right]_{\,0}^{\!\sqrt{1-\frac{1}{\,n\,}}}\! +2\left[\,\frac{1}{\,4\,}x^4-\frac{1}{\,2\,}\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr)x^2 \,\right]_{\!\sqrt{1-\frac{1}{\,n\,}}}^1 \\ \hspace*{7zw} -2\Bigl(-\frac{1}{\,4\,}+\frac{1}{\,2\,}\Bigr) \\[3mm] \hspace*{4zw} =4\,\biggl\{-\frac{1}{\,4\,}\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,} \Bigr)^{\!2}+\frac{1}{\,2\,}\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr)^{\!2}\biggr\} +2\,\biggl\{\frac{1}{\,4\,}-\frac{1}{\,2\,}\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr) \biggr\}-\frac{1}{\,2\,} \\[2mm] \hspace*{4zw} =\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr)^{\!2} -\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr)=-\frac{1}{\,n\,}+\frac{1}{\,n^2} \\[2mm] \quad であるから,\\ \hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} nI_n=\lim_{n\to\infty} \Bigl( -1+\frac{1}{\,n\,}\Bigr)=\ansbox{-1}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(イ)} \\[10mm] (\raisebox{-1pt}{\textgt{3}})\ \ x_n^{(a)}\,をb_n\,桁とすると\,\overline{\, x_n^{(a)}}\,もb_n\,桁,\ \ 10^{\,b_n}\,の下b_n\,桁は0であるから,\\[1mm] \hspace*{6zw} x_{n+1}^{(a)}=10^{\,||x_n^{(a)}||}\times x_n^{(a)} +\overline{\,x_n^{(a)}} \\[1mm] \quad は\,\paalen{\,x_1^{(a)}=aが正の整数である限り}\,2\,b_n\,桁である。\ \ aは0以外の1桁の数であ \\ \quad るから,\ \ \{b_n\}は初項b_1=1,\ \,公比2の等比数列であり,\\[1mm] \hspace*{6zw} x_n^{(a)},\ \,\overline{\,x_n^{(a)}}\,の桁数は\ b_n=2^{n-1} \\ \quad 補数の定義より \\[1mm] \hspace*{6zw} x_n^{(a)}+\overline{\,x_n^{(a)}} =\underbrace{999\cdots 9\vphantom{p}}_{2^{n\!-\!1}桁} \hspace*{3zw} \therefore\,\ x_n^{(a)}+\overline{\,x_n^{(a)}}+1 =\underset{(ウ)}{\ansbox{10^{2^{n-1}}}} \\[2mm] \qquad\, x_n^{(3)}-x_n^{(2)}\,が9^m\,で割り切れるとき,\ \ 0以上の整数mの最大値 をM_n\,で表すと,\\[1mm] \hspace*{6zw} x_n^{(3)}-x_n^{(2)}\ は\ 9^{M_n}\,で割り切れて\ 9^{M_n+1}\, で割り切れない \\[1mm] \quad ことになる。\ \ \{x_n^{(a)}\}の漸化式と\ \fbox{\ \,ウ\ \,}\ より\\[1.5mm] \makebox[11.5zw][r]{$x_{n+1}^{(3)}-x_{n+1}^{(2)}$} =\bigl(10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}x_n^{(3)}+\overline{\,x_n^{(3)}}\bigr) -\bigl(10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}x_n^{(2)}+\overline{\,x_n^{(2)}}\bigr)\\[1mm] \hspace*{11.5zw} =\bigl(10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}x_n^{(3)} +10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}-x_n^{(3)}-1\bigr) \\[.5mm] \hspace*{14.5zw} -\bigl(10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}x_n^{(2)} +10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}-x_n^{(2)}-1\bigr) \\[1mm] \hspace*{11.5zw} =(10^{\hspace*{.5pt}2^{n-1}}-1) \bigl(x_n^{(3)}-x_n^{(2)}\bigr) \\[1mm] \hspace*{11.5zw} =9\,\bigl(x_n^{(3)}-x_n^{(2)})\times\,\underbrace{111 \cdots\vphantom{p}1}_{2^{n\!-\!1}桁} \\[1mm] \quad\, \underbrace{111\cdots\vphantom{p}1}_{2^{n\!-\!1}桁}\,の各位の和は 2^{n-1}\,であり,\ \ 9では割り切れないから,\\ \hspace*{6zw} x_{n+1}^{(3)}-x_{n+1}^{(2)}\ は\ 9^{M_n+1}\,で割り切れて\ 9^{M_n+2}\,で割り切れない \\[.5mm] \quad ことになって,\\ \hspace*{8zw} M_{n+1}=M_n+1 \\[1mm] \quad\, x_1^{(3)}-x_1^{(2)}=3-2=1よりM_1=0であるから,\\[1mm] \hspace*{7zw} (\makebox[1.1zw][c]{$m$}\raisebox{-1pt}{の最大値}) =M_n=\underset{(エ)}{\ansbox{n-1}} $ \end{document}