早稲田大学 理工 2003年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2003年度
問No 問2
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=130mm \textheight=212mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt} {------}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{------}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{118mm}{\qquad\ $0\hspace*{1pt},\,1\hspace* {1pt},\,2\ をいくつか並べてできる配列に対して,\,次の変換を考える\hspace*{-2pt}: \\[4mm] \hspace*{2.5zw} 左から順に調べ,\,初めて\ 11\ が現れたとき,\,それを\ 02\ に 置き \\[2mm]\hspace*{2.5zw} かえる. \\[4mm] n桁の配列Pに対して,\ この変換を可能な限り繰り返し,\ 最終的に得ら \\[2mm] れる配列を\ \overline{P}\ とする.\ \,たとえば,\ 8桁の配列P=00111110に対しては \\[4mm] \hspace*{8zw} 00111110\ \to\ 00021110\ \to\ 00020210 \\[4mm] のようにして,\ 2\ 回の変換で\ \overline{P}=00020210\ が得られる.\ \,0\ と\ 1\ のみか\\[2mm]ら\hspace*{.4pt}な\hspace*{.4pt}る\ n\ 桁\hspace*{.4pt}の\hspace* {.4pt}配\hspace*{.4pt}列Pの\hspace*{.4pt}う\hspace*{.4pt}ち,\ \,\overline{P}\ の\hspace*{.4pt}右\hspace*{.4pt}端\hspace*{.4pt}の\hspace*{.4pt}桁\hspace* {.4pt}が\ 2\ と\hspace*{.4pt}な\hspace*{.4pt}る\hspace*{.4pt}も\hspace*{.4pt}の \hspace*{.4pt}の\hspace*{.4pt}個\hspace*{.4pt}数\hspace*{.4pt}を\\[2mm] \,a_n\ とするとき,\,以下の問に答えよ. \\[5mm] \ (1)\ a_4-a_2, \hspace*{3pt} a_5-a_3\ を求めよ.\ \,ただし,\,結論のみでよい. \\[2mm] \ (2)\ n\geqq 4\ のとき,\ a_n-a_{n-2}\ を求めよ. \\[2mm] \ (3)\ a_{2m}\ を求めよ.\ \,ただし,\ mは正の整数とする. $} \end{FRAME} \quad $ \\ (1)\ \ 条件を満たす配列Pを具体的に書いてみると \\ \hspace*{5zw} n=2\ のとき \ \ \ 11 \\ \hspace*{5zw} n=3\ のとき \ \ \ 011 \\ \hspace*{5zw} n=4\ のとき \ \ \ 0011,\ \,1011,\ \,1111 \\ \hspace*{5zw} n=5\ のとき \ \ \ 00011,\ \,01011,\ \,01111,\ \,10011,\ \,11011 \\ \quad であるから,\ \ \,a_2^{}=a_3^{}=1,\ \, a_4^{}=3,\ \, a_5^{}=5\ であり,\\ \hspace*{6zw} a_4^{}-a_2^{}=2,\ \ a_5^{}-a_3^{}=4 \ \ \ (答) \\[5mm] (2)\ \ 0と1のみからなる配列Pのうち,\ \ \overline{P}\,の右端が2となるのは,\ \ Pが \\ \hspace*{6zw} \raisebox{.5pt}{$\cdots\cdots$} 0 \hspace*{-8pt} \underbrace{11\,\raisebox{.5pt}{$\cdots$}11 \vphantom{p}}_{2以上の偶数桁} \ \ または \ \ \ \underbrace{1111\,\raisebox{.5pt} {$\cdots$}11 \vphantom{p}}_{2以上の偶数桁} \\[2mm] \quad の形をしている場合である。\\[1mm] \quad(\makebox[2.5mm][c]{i})\ \ 末尾が011のとき \\ \qquad 上のn-3桁は0,\ 1のいずれかであれば任意でよいから\ 2^{\hspace*{.5pt}n-3}\,個 \\ \quad(\makebox[2.5mm][c]{ii})\ \ 末尾が111のとき \\ \qquad 下2桁の\raisebox{2pt}{``}\,11\,\raisebox{2pt}{"}\,を除くと残りn-2桁は 条件を満たすから\ a_{n-2}\,個 \\[1mm] \quad 以上をあわせて \\ \hspace*{6zw} a_n=a_{n-2}+2^{\hspace*{.5pt}n-3} \hspace*{3zw} \therefore\,\ a_n-a_{n-2}=2^{\hspace*{.5pt}n-3} \ \ \ (答) \\[5mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}より,\ \ m\geqq 2のとき \\ \hspace*{6zw} \begin{array}{rc@{\ }l} & a_{2m}^{}-a_{2m-2}^{} & =2^{\hspace*{.5pt}2m-3} \\ & a_{2m-2}^{}-a_{2m-4}^{} & =2^{\hspace*{.5pt}2m-5} \\ & &\hspace*{3pt} \vdots \\ & a_6^{}-a_4^{} & =2^3 \\ +) & a_4^{}-a_2^{} & =2 \\ \hline\tabtopsp{3mm}% & a_{2m}^{}-a_2^{} & =\dfrac{\ 2(4^{\hspace*{.5pt}m-1}-1)\,}{4-1} =\dfrac{\,2\,}{3}(2^{\hspace*{.5pt}2m-2}-1) \end{array} \\[2mm] \quad 最後に得られた式はm=1のときも成り立ち,\ \ a_2^{}=1 より \\[2mm] \hspace*{6zw} a_{2m}^{}=\dfrac{\,2\,}{3}(2^{\hspace*{.5pt}2m-2}-1)+1 =\dfrac{\ 2^{\hspace*{.5pt}2m-1}+1\ }{3} \ \ \ (答) $ \end{document}