早稲田大学 教育学部<理科系> 2004年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2004年度
問No 問4
学部 教育学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
(2)は[式:…]軸に垂直な平面で切ってもできますね.
[式:…]として求め,あとで[式:…]倍に相似拡大すればよい.
この立体を平面[式:…]で切る. 切り口が現れる条件は[式:…]
[式:…]による円錐の切り口は半径[式:…]の円,立体の切り口は弓形になる. 弓形の中心角を[式:…]とおくと,切り口の面積は[式:…]
[式:…]より[式:…]だから,[式:…]
求める体積Vは,[式:…]
第1項は,[式:…]
[式:…]より
[式:…]
この式の第2項は[式:…]
[式:…]とおくと[式:…]
よって,[式:…]の式の第1項は[式:…]
[式:…]の式の第2項は[式:…]
[式:…]とおくと
[式:…]
したがって,[式:…]
求める体積は[式:…]
チュネズミ さん 2016/02/06 15:39:13 報告
2
ちなみに,円錐の式[式:…]と平面の式[式:…]を連立すると放物線の式[式:…]が出ますが,これは断面Pを[式:…]平面へ正射影した図形を表しています (もちろん[式:…]の範囲) . これと同様の考え方をする問題が83東大,04慶大・医で出題されています. 83東大の問題は他の解き方もありますが.
チュネズミ さん 2016/02/06 18:11:00 報告
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=212mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{130mm}{\quad 中心O,\ \ 半径$aの円を底面とし,高さが aの直円\hspace*{-2pt}\overset{すい}{錐}\hspace*{-2pt}がある。$ \\[2mm]% 点Oを通り,底面と$45^\circ$の角度で交わる平面をPとする。\\[2mm]% \hspace*{-4pt}\raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{1})}\ \ この円錐をPで切る とき,その切り口の面積を求めよ。\\[2mm]% \hspace*{-4pt}\raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{2})}\ \ Pはこの円錐を2つの 部分に分けるが,そのうちの\\[2mm] \quad 小さい方の体積を求めよ。} \end{FRAME} \quad $ \\ \quad\,xyz空間において直円錐の底面を \\ \hspace*{6zw} x^2+y^2\leqq a^2, \ \, z=0 \\ 頂点を(0,\ 0,\ a)とするとき,題意の直円錐は \\ \hspace*{6zw} x^2+y^2 \leqq (a-z)^2,\ \ 0\leqq z\leqq a \hfill \cdots\cdots\ (*) \hspace*{6zw}\\[.5mm] と表される。$ \\[3mm]% \raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{1})}\ \ 平面Pを$z=xとしてよく, そのとき直円錐\raisebox{1pt}{$(*)$}の切り口は \\ \hspace*{6zw} x^2+y^2 \leqq (a-x)^2 \displaystyle \\ \hspace*{6zw} y^2\leqq a^2-2ax \hspace*{3zw} \therefore\,\ x\leqq\frac{\,a^2-y^2}{2a} \\[2mm] \quad\, xy平面への正射影は \\[1mm] \hspace*{6zw} 0\leqq x\leqq \frac{\,a^2-y^2}{2a},\ \ z=0 \\[1.5mm] \quad であり,その面積は \\[1.5mm] \makebox[12.5zw][r]{$\displaystyle\int_{-a}^{\,a} \frac{\,a^2-y^2}{2a}\,dy$} =-\frac{1}{\,2a\,}\!\int_{-a}^{\,a} (y+a)(y-a)\,dx \\[1.5mm] \hspace*{12.5zw} =\frac{1}{\,2a\,}\ten\frac{1}{\,6\,}(a+a)^3 =\frac{\,2\,}{3}a^2 \\[2mm] \quad 平面\mbox{P}による直円錐\raisebox{1pt}{$(*)$}の面積をSとすると,平面 \mbox{P}とxy平面(z=0)は45^\circ\,を\\ \quad なすから \\[1mm] \hspace*{6zw} S\cos 45^\circ=\frac{\,2\,}{3}a^2 \hspace*{3zw} \therefore\ \, S=\frac{\ 2\sqrt{\,2\,}\,}{3}a^2 \ \ \ (答) \\[5mm]% \raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{2})}\ \ 直円錐\raisebox{1pt}{$(*)$}を平面z=x-t \ (0\leqq t\leqq a)で切るとき,切り口のz=0への正射\\ \quad 影は \\ \hspace*{6zw} x^2+y^2\leqq (a-x+t)^2,\ \ x-t\geqq 0 \\[.5mm] \hspace*{6zw} y^2\leqq (a+t)^2-2(a+t)x,\ \ x\geqq t \\[1.5mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ t\leqq x\leqq \frac{\,(a+t)^2-y^2}{2(a+t)} \\[1.5mm] \quad\,\frac{\,(a+t)^2-y^2}{2(a+t)}-t=\frac{\,(a^2-t^2)-y^2}{2(a+t)}\ であ ることに注意すると,正射影の面積は \\[1.5mm] \makebox[18zw][r]{$\displaystyle\int_{-\sqrt{\,a^2-t^2\,}}^{\,\sqrt{\,a^2-t^2\,}} \frac{\,(a^2-t^2)-y^2}{2(a+t)}\,dy$}=\frac{1}{\,2(a+t)\,}\ten\frac{1}{\,6\,} \bigl(2\sqrt{\,a^2-t^2\,}\,\bigr)^3 \\[1mm] \hspace*{18zw} =\frac{\,2\,}{3}(a-t)\sqrt{\,a^2-t^2\,} \\[2mm] \quad であるから,平面z=x-t\ による断面積S(t)は \\[1.5mm] \makebox[8zw][r]{$S(t)$}=\frac{\,2\,}{3}(a-t)\sqrt{\,a^2-t^2\,}\times\! \frac{1}{\,\cos{45}^\circ} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =\frac{\ 2\sqrt{\,2\,}\,}{3}(a-t)\sqrt{\,a^2-t^2\,} \\[2mm] \quad\ tの変化量に対する平面z=x-t\ に垂直な方向の変化量 \\[1mm] \quad の比は\cos 45^\circ=\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\sqrt{\,2\,}\,}\,である から,求める体積Vは \displaystyle \\[2mm] \makebox[7zw][r]{$V$}=\int_0^{\hspace*{1pt}a} \frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}S(t) \,dt \hspace*{11zw} \begin{picture}(0,0) \Nuritubusi[.2]{(40,0)(50,-10)(100,40)(100,60)(40,0)} \path(0,-10)(100,-10) \path(30,-10)(100,60) \path(40,0)(50,-10)(100,40) \allinethickness{.3pt}% \spline(30,-10)(35,-13)(45,-13)(50,-10) \put(33,-23){$\Delta t$} \spline(40,0)(44,-1)(49,-6)(50,-10) \spline(47,-4)(52,2)(52,12)(45,24) \put(15,27){$\Delta t\cos 45^\circ$} \end{picture} \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{\,2\,}{3}\!\int_0^{\hspace*{1pt}a} (a-t)\sqrt{\,a^2-t^2\,}\,dt \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{\,2\,}{3}a\!\int_0^{\hspace*{1pt}a}\hspace*{-4pt} \raisebox{-1pt}{$\sqrt{\hspace*{1pt}a^2-t^2\,}$}\,dt +\frac{1}{\,3\,}\!\int_0^{\hspace*{1pt}a} (a^2-t^2)\hspace*{-2pt} \raisebox{6pt}{\small$\frac{1}{\,2\,}$}(a^2-t^2)'\,dt \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{\,2\,}{3}a\ten\frac{1}{\,4\,}\pi a^2 +\frac{1}{\,3\,}\left[\,\frac{\,2\,}{3}(a^2-t^2)\hspace*{-2pt}\raisebox{6pt} {\small$\frac{\,3\,}{2}$}\,\right]_0^a \\[2mm]\hspace*{7zw} =\Bigl(\frac{\,\pi\,}{6}-\frac{\,2\,}{9}\Bigr)a^3 \ \ \ (答) \\[4mm]% \paalen{注} \\ \quad\, 1^\circ\ \ tが微小量\Delta\hspace*{1pt}tだけ変化するとき,平面z=x-t\ は \ \Delta\hspace*{1pt}t\,\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,} \Delta\hspace*{1pt}t\ だ \\[1.5mm]\qquad け動くから,平面z=x-t\ はtの変化に 対して垂直な平面ではない。そのた \\[2mm]\qquad め,求める体積は \int_0^{\hspace*{1pt}a}\! S(t)\,dt\ とは一致しない。\\[4mm] \quad\, 2^\circ\ \ 題意の\hspace*{1pt}「小さい方」\hspace*{1pt}の立体は,\\[.5mm] \hspace*{6zw} x^2+y^2\leqq (a-z)^2,\ \ 0\leqq z\leqq x $ \\[.5mm]% \qquad と表されるので,体積を求める定石通り\paalen{いわゆる累次積分の方法で} 解けそう \\ \qquad に見えるが,実際には積分計算できない関数が出てきて破綻する。 そういう意 \\ \qquad 味では,\raisebox{.5pt}{(1)}\,は\,\raisebox{.5pt}{(2)}の 間接的なヒントになっている。 \end{document}