東京工業大学 前期 2004年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2004年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=208mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{131mm}{\quad\,$0<r<1とする。空間において, 点(\,0\,,\ \,0\,,\ \,0\,)を中心とする半径rの球と \displaystyle \\[1.5mm] 点(\,1\,,\ \,0\,,\ \,0\,)を中心とする半径\,\sqrt{\,1-r^2}\,の球との共通部分の 体積をV(r)とす \hspace*{1pt}\\[1.5mm] る。次の問いに答えよ。\\[8mm] (1)\ \ V(r)を求めよ。\\[8mm] (2)\ \ rが0<r<1の範囲を動くとき,\ \ V(r)\hspace*{1pt}を最大にするrの値および V(r)\hspace*{1pt}の \\[1.5mm] \quad 最大値を求めよ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ V(r)は,連立不等式 \\[.5mm] \hspace*{6zw} \biggl\{\begin{array}{@{}l} \,x^2+y^2\leqq r^2 \\ (x-1)^2+y^2\leqq 1-r^2 \end{array} \\[1mm] \quad で表されるxy平面上の領域を,\ \ x軸のまわりに1回転させてできる立体の体 \\ \quad 積である。\\ \hspace*{6zw} 境界線の交点は(r^2,\ \,\pm\,r\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r^2\,}$}\,) \\ \quad となることに注意すると,体積V(r)は \displaystyle \\[1.5mm] \makebox[7zw][r]{$V(r)$}=\int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{\,r^2} \pi\{1-r^2-(x-1)^2\} \,dx+\int_{r^2}^{\,r} \pi(r^2-x^2)\,dx \\[1.5mm]\hspace*{7zw} =\pi\left[\,(1-r^2)x-\frac{1}{\,3\,}(x-1)^3\,\right]_{1-\sqrt{1-r^2}}^{r^2} +\pi\left[\,r^2 x-\frac{1}{\,3\,}x^3\,\right]_{r^2}^r \\[2mm] \hspace*{7zw} =\pi\Bigl\{(1-r^2)(r^2-1+\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r^2\,}$}\, )-\frac{1}{\,3\,}(r^2-1)^3+\frac{1}{\,3\,}(-\raisebox{-1pt} {$\sqrt{\,1-r^2\,}$}\,)^3\Bigr\} \\[1mm] \hspace*{10zw} +\pi\Bigl\{r^2(r-r^2)-\frac{1}{\,3\,}(r^3-r^6)\Bigr\} \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{\pi}{\,3\,}(1-r^2)\bigl\{3r^2-3+3\raisebox{-1pt} {$\sqrt{\,1-r^2\,}$}+(1-r^2)^2-\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r^2\,}$}\,\bigr\} \\[1mm]\hspace*{10zw} +\frac{\pi}{\,3\,}(3r^3-3r^4-r^3+r^6) \vspace*{2mm}\\ \hspace*{7zw} =\frac{\pi}{\,3\,}(1-r^2)(-2+r^2+r^4+2\raisebox{-1pt} {$\sqrt{\,1-r^2\,}$}\,)+\frac{\pi}{\,3\,}(2r^3-3r^4+r^6) \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{\pi}{\,3\,}\bigl\{-2+3r^2+2r^3-3r^4+2\hspace*{1pt} (1-r^2)\!\raisebox{7pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$}\bigr\}\ \ \ (答) $ \newpage\noindent (2)\ \ $V(r)を微分すると \displaystyle \\[1mm] \makebox[6zw][r]{$V'(r)$}=\frac{\pi}{\,3\,}\bigl\{6r+6r^2-12r^3+3\hspace*{1pt} (1-r^2)\!\raisebox{7pt}{\small$\frac{1}{\,2\,}$}(-2r)\bigr\} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =2\pi r\hspace*{1pt}(1+r-2r^2 -\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r^2\,}$}\,) \\[.5mm] \hspace*{6zw} =2\pi r\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$}\hspace*{1pt} \bigl\{(1+2r)\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$}-\raisebox{-1pt} {$\sqrt{\,1+r\,}$}\,\bigr\} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,2\pi r\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$} \hspace*{1pt}\bigl\{(1+2r)^2(1-r)-(1+r)\bigr\}\,}{(1+2r)\raisebox{-1pt} {$\sqrt{\,1-r\,}$}+\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1+r\,}$}} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,2\pi r\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$}\, (2r-4r^3)\,}{(1+2r)\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$} +\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1+r\,}$}} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,8\pi r^2\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$}\hspace*{1pt}\Bigl( \dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}+r\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}-r\Bigr)\,} {(1+2r)\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1-r\,}$}+\raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,1+r\,}$}} \\[2.5mm] \quad\, 0<r<1よりV'(r)は\,\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}-rと符号変化が同じある から,\ \ 0<r<1にお \\[.5mm]\quad けるV(r)の増減は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2.5mm}% r & (0) & & \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\sqrt{\,2\,}\,} & & (1) \\[2.5mm] \hline V'(r) & & + & 0 & - & \\ \hline V(r) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\[2mm] \quad よって,\ \ V(r)は \\[1mm] \hspace*{8zw} r=\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,} \ \ \ (答) \\[2mm] \quad のとき極大かつ最大であり,\ \ V(r)の最大値は \\[1.5mm] \makebox[10zw][r]{$V\biggl(\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}\biggr)$} =\frac{\pi}{\,3\,}\biggl\{-2+\frac{\,3\,}{2}+\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,} -\frac{\,3\,}{4}+2\Bigl(1-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)\!\raisebox{10pt}{\small$ \frac{\,3\,}{2}$}\biggr\} \\[1.5mm]\hspace*{10zw} =\Bigl(\frac{\sqrt{\,2\,}\,}{3}-\frac{5}{\,12\,}\Bigr)\pi \ \ \ (答) $ \end{document}