早稲田大学 教育学部<理科系> 2004年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2004年度
問No 問3
学部 教育学部
カテゴリ 二次関数 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{130mm}{\quad 座標平面上で,$\mathrm{O_1,O_2,O_3, \cdots\,,\,O}_n,\cdots\ はすべて円であり,\\[2mm] 次の条件を満たしている。\displaystyle \\[2mm] \hspace*{-4pt}\raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{1})}\ \ \mbox{O}_1\,は, 中心(0,\frac{1}{\,2\,}),\ \ 半径\frac{1}{\,2\,}\,の円である。\\[2mm]% \hspace*{-4pt}\raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{2})}\ \ 各\mbox{O}_n\ \, (n=1,2,3,\cdots\,)\ \,の中心はy軸上にあり,\\[2mm] \quad その座標を\ (0,p_n)\ とすると,\ \,0<p_n<p_{n+1}\,である。\\[2mm] \hspace*{-4pt}\raisebox{1pt}{(\raisebox{-1pt}{3})}\ \ 各\mbox{O}_n\ \, (n=1,2,3,\cdots\,)\ \,は放物線y=x^2\,に接し,\\[2mm] \quad\, \mbox{O}_{n+1}\,は\mbox{O}_n\,に外接している。\\[2mm] このとき,円\mbox{O}_n\,の直径,およびその中心のy座標p_n\,を求め,\\[2mm] \,nの式で表せ。$} \end{FRAME} \quad \\ \quad 円O${}_n\,の半径をr_n$とすると,円O${}_n\,は放物線y=x^2\,と接するから,\ \ x^2+(x^2-p_n)^2 \\の最小値は{r_n}^2\,である。\displaystyle \\[.5mm] \makebox[12.5zw][r]{$x^2+(x^2-p_n)^2$}=x^4-(2p_n-1)x^2+{p_n}^2 \\[1.5mm] \hspace*{12.5zw} =\Bigl(x^2-\frac{\,2p_n-1\,}{2}\Bigr)^{\!2} -\Bigl(p_n-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}+{p_n}^2 \\[1.5mm] \hspace*{12.5zw} =\Bigl(x^2-\frac{\,2p_n-1\,}{2}\Bigr)^{\!2}+p_n-\frac{1}{\,4\,} \\[2.5mm] \,p_n\geqq p_1^{}=\frac{1}{\,2\,}\,であるから,\\[1mm]\hspace*{6zw} {r_n}^2=p_n-\frac{1}{\,4\,} \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw}\\[2mm] \,\mbox{O}_n$とO${}_{n+1}\,は外接し,\ \ p_n<p_{n+1}\,であるから \\[-.5mm] \hspace*{6zw} p_{n+1}-p_n=r_{n+1}+r_n \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \maru{1},\ \maru{2}より \\[-1mm] \hspace*{6zw} {r_{n+1}}^2-{r_n}^2=r_{n+1}+r_n \\[.5mm] \,r_{n+1}+r_n>0より \\[-.5mm] \hspace*{6zw} r_{n+1}-r_n=1 \displaystyle \\[2mm] よって,\ \ \{r_n\}は初項r_1^{}=\frac{1}{\,2\,},\ \ 公差1の等差数列であるから,\\[2mm] \hspace*{6zw} r_n=\frac{1}{\,2\,}+(n-1)=n-\frac{1}{\,2\,} \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ (\raisebox{-1pt}{O${}_n$の直径}) =2\,r_n=2n-1 \ \ \ (答) \\[2mm] \maru{1}より \\ \hspace*{6zw} p_n={r_n}^2+\frac{1}{\,4\,}=n^2-n+\frac{1}{\,2\,} \ \ \ (答) $ \end{document}