センター試験 数学Ⅰ・A 2009年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2009年度
問No 問2
学部
カテゴリ 二次関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
ツ~ニのような問題,ひいては2次関数の軸の位置による場合分けのような問題は,日本の数学のため?にも止めたほうがよいと思うのですがいかがでしょうか? 
コロパパ さん 2009/06/27 22:01:58 報告
2
コロパパさん,はじめまして。
解答作成者の山田です。

センター試験は受験者数が多いだけに賛否両論も当然ですね。
二次関数の問題については毎年パターン化されていて,面白くない出題が多いと思いますが,逆に目新しさを求める方が酷かもしれません。

ところで,軸の位置による場合分けの問題を止めたほうがいいというのは,センター試験の出題として止めたほうがいいという意味でしょうか。
山田 慶太郎 さん 2009/06/29 21:56:02 報告
3
センター数学の資料が揃っていくのを楽しみにしております。解答を作成して下さってありがとうございます。

あまり深い考えなしに,ふとこぼしてしまった「ぼやき」で申し訳ありません。本問を解いていて「できる生徒はやる気がしないのではないか。それでもやらざるを得ないので,むしろ屈辱を感じるのではないか」と勝手に思ってしまいました。センター試験に勢力を裂かれざるを得ない生徒が,ぼんやりと気の毒に思えてしまって,方向違いのことをもらしてしまったようです。大昔からの定番である2次関数の軸の位置による場合分けの問題や,解の配置などは,生徒は一度はやらなければならないと思いますが,マンネリの極致で,いくら学習数学であるといっても,新しい風がほしいと個人的には思っております。(抽象的でスミマセン)
コロパパ さん 2009/07/05 18:07:33 報告
4
2次関数のこのパターンの問題をやりすぎてしまって,飽きてしまうということでしょうか. でも,ハイレベルな生徒ほど,こういう基礎的な問題は (センターやその対策以外には) あまりやっておらず,基礎の確認として良いと思うのですが. すべての生徒がこういった問題に飽き飽きしているというのは,はてさて. そもそも,センター試験に目新しさを求めるのは間違いだと思うのです. 毎年,むやみに目新しくして平均点がだだ下がり(本来6割にすべきところ),大失敗,というのを繰り返しています. そういう問題に対応できる力は2次試験でしっかり見れますからね (とはいえ最近は受験生の学力をセンターのみで問うのはどうかという,感心しない意見が見られますが) .
阿木 愛治 さん 2015/10/17 11:01:15 報告
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\OR#1{\overrightarrow{#1}} \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Angle#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.2cm]{#1}}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.4cm]{#1}}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.8cm]{#1}}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fbox{\gt{#1}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第2問}}(配点 \; 25)\\ \quad $a$を定数とし,$x$の2次関数 \[\ake y=2x^2-4(a+1)x+10a+1 \Cdots\maruichi\ake \] のグラフを$G$とする。 \quad グラフ$G$の頂点の座標を$a$を用いて表すと \[\ake \SK{a+\FBA{ア}\,,\,\FBA{イウ}a^2+\FBA{エ}a-\FBA{オ}}\] である。\\ \begin{shomon} グラフ$G$が$x$軸と接するのは \[\ake a=\frac{\FBA{カ} \pm \sqrt{\FBA{キ}}}{\FBA{ク}}\] のときである。 \end{shomon} \begin{shomon} 関数\mruichi の$-1 \leq x \leq 3$における最小値を$m$とする。 \[\ake m=\FBAS{イウ}a^2+\FBAS{エ}a-\FBAS{オ}\] となるのは \[\ake \FBA{ケコ} \leq a \leq \FBA{サ}\] のときである。また \[\ake a<\FBAS{ケコ}のとき \quad \,m=\FBA{シス}a+\FBA{セ} \] \[\ake \FBAS{サ}<aのとき \quad m=\FBA{ソタ}a+\FBA{チ} \] である。 \quad したがって,$m=\dfrac{7}{9}$となるのは \[\ake a=\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}\,,\,\frac{\FBA{トナ}}{\FBA{ニ}}\] のときである。 \end{shomon} \end{jituwaku} \vspace{4mm} \h\kai\quad \mruichi より \[y=2\CK{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2+10a+1=2\CK{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1 \] よってグラフ$G$の頂点の座標は\quad $(a+\bd{1}\,,\,\bd{-2}a^2+\bd{6}a-\bd{1})$\quad [\textgt{ア~オ}] \h\kakkoichib\quad グラフ$G$が$x$軸と接するのは,頂点の$y$座標が0のときで \[-2a^2+6a-1=0 \] \[2a^2-6a+1=0 \H\yueni \quad a=\frac{\bd{3} \pm \sqrt{\bd{7}}}{\bd{2}} \quad [\gt{カキク}]\] \h\kakkonib\quad $m=-2a^2+6a-1$(頂点の$y$座標)となるのは,グラフ$G$の軸$:x=a+1$が$-1 \leq x \leq 3$に含まれるとき(図1)だから \[-1 \leq a+1 \leq 3 \H\yueni\quad \bd{-2}\leq a \leq\bd{2} \quad [\gt{ケコサ}]\] \vspace{4mm} \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \includegraphics[width=4cm,clip]{center2009-1a-2kaitou1.eps}& \includegraphics[width=4cm,clip]{center2009-1a-2kaitou2.eps}& \includegraphics[width=3.9cm,clip]{center2009-1a-2kaitou3.eps} \\ 図1 & 図2 & 図3 \end{tabular} \end{center} \vspace{4mm} 同様に$a+1<-1$,つまり$a<-2$のとき(図2),\mruichi は$x=-1$で最小となるので \[m=2+4(a+1)+10a+1=\bd{14}a+\bd{7} \quad [\gt{シスセ}]\] $a+1>3$,つまり$a>2$のとき(図3),\mruichi は$x=3$で最小となるので \[m=2 \cdot 3^2-12(a+1)+10a+1=\bd{-2}a+\bd{7} \quad [\gt{ソタチ}]\] ここで$m=\dfrac{7}{9}$となる$a$の値を場合分けして求める。 \h\tokeiichi\quad $a<-2$のとき \[m=14a+7=\frac{7}{9} \H\yueni\quad a=-\frac{4}{9}\] $a<-2$を満たさず不適。 \h\tokeini\quad $-2 \leq a \leq 2$のとき \[m=-2a^2+6a-1=\frac{7}{9}\] \[9a^2-27a+8=0 \H\yueni\quad (3a-1)(3a-8)=0 \] $-2 \leq a \leq 2$より\quad $a=\bd{\dfrac{1}{3}}$ \quad [\textgt{ツテ}] \h\tokeisan\quad $2<a$のとき \[m=-2a+7=\frac{7}{9} \H\yueni\quad a=\bd{\frac{28}{9}} \quad [\gt{トナニ}]\] これは$2<a$を満たす。 \end{document}