慶應義塾大学 理工学部 2004年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2004年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 微分法と積分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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1
類題
1992年度 東京大 第3問
2005年度 京都府立医大 第3問
2006年度 日本医科大 第3問
円柱の側面切り開き系はこんなものかな? 最近でも意外と出ていますね. しかも綺麗に04,05,06と連続している.
??? さん 2016/12/08 09:41:06 報告
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=139mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\raisebox{.5pt} {\framebox[14mm][c]{\small#1}}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{132mm}{底面の半径が$\ a\ で高さが\ b\ の直円柱\ A \ \,を考える。この直円柱\ A\ \,を座標空間\\[1mm]内の2つの平面\ z=0\ と\ z=b\ との間 に,そ\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}中\hspace*{.5pt}心\hspace*{.5pt}軸\hspace* {.5pt}がz軸\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}重\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る\hspace* {1pt}よ\hspace*{1pt}う\hspace*{1pt}に\hspace*{1pt}お\\[1mm]く。また\ x軸と点\ (0,\,a,\,b)\ を含む平面を\ P\ とする。平面\ P\ で,この直円柱\ A \\[.7mm] を切ってできる2つの立体のうちで,点\ (\hspace*{1pt}0,\hspace*{2pt}\displaystyle \frac{\raisebox{-.5mm}{$a$}}{\,2\,},\hspace*{2pt}\frac{\raisebox{-.5mm}{$b$}} {\,4\,}\hspace*{1pt})\ を\hspace*{.8pt}含\hspace*{.8pt}む\hspace*{.8pt}方 \hspace*{.8pt}の\hspace*{.8pt}立\hspace*{.8pt}体\hspace*{.8pt}を\ B\ と\hspace* {.8pt}す\\[.8mm]る。\ \,t\ を条件\ 0\leqq t\leqq a\ をみたす実数とするとき, こ\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}立\hspace*{1pt}体\ B\ を\hspace*{1pt}平\hspace* {1pt}面\ y=t\ で\\[1mm]切ったときの切り口の面積\ S\,(t)\ は\ \kobox{(ア)}\ で ある。したがって,立体\ B\ の体\\[.5mm]積\ \ V=\int_0^{\hspace*{.5pt}a} S(t)\, dt\ \,は\ \kobox{(イ)}\ と\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る。\\[1mm] \quad さらに,この立体\ B\ の側面\ \paalen{つまり,もともとは直円柱\ A\ の側面 であった部\\[1mm]分}\ \ の面積\ \,S_1\ \,は\ \,\kobox{(ウ)}\ \,で\hspace*{1pt} あ\hspace*{1pt}る。立\hspace*{1pt}体\ B\ の\hspace*{1pt}底\hspace*{1pt}面\ \, \paalen{す\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}わ\hspace*{1pt}ち,平\hspace*{1pt}面\ z\hspace*{1pt}=\hspace*{1pt}0 \hspace*{2pt}\\[1mm] の部分}\ \,の面積を\ S_2\ と \hspace*{1pt}す\hspace*{1pt}る。こ\hspace*{1pt}こ\hspace*{1pt}で,\ \ S_1\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}S_2=3\pi\ \,\paalen{\pi\ \,は円周率}\ \,の条件の \\[1mm]のもとで,\ \ a\ と\ b\ を動かして立体\ B\ の体積\ V\ を最大にするには, \ \ a=\kobox{(エ)}\,, \\[1mm]\,b=\kobox{(オ)}\ と定めればよい。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle\\[2mm] \hspace*{6zw} B:\,x^2+y^2\leqq a^2, \ \, 0\leqq z\leqq \frac{\,b\,}{a}y \\ [2mm]を平面y=t\ (0\leqq t\leqq a)で切った切り口は \\[1mm] \hspace*{6zw} x^2\leqq a^2-t^2,\ \ 0\leqq z\leqq \frac{\,b\,}{a}t \\[2mm] で表される長方形であるから,断面積S(t)は \\[1mm] \hspace*{6zw} S(t)=2\sqrt{\,a^2-t^2\,}\ten\frac{\,b\,}{a}\hspace*{1pt}t\, =\ansbox{\dfrac{\,2b\,}{a}\hspace*{1pt}t\hspace*{1pt}\sqrt{\,a^2-t^2\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ア)} \\[1mm] よって,立体Bの体積Vは \\[1.5mm] \makebox[12zw][r]{$V=\displaystyle\int_0^{\hspace*{.5pt}a}\! S(t)\,dt$} =-\frac{\,b\,}{a}\!\int_0^{\hspace*{.5pt}a} (a^2-t^2)\!\raisebox{7pt} {\small$\frac{1}{\,2\,}$} (a^2-t^2)'\,dt \\[2mm]\hspace*{12zw} =-\frac{\,b\,}{a}\left[\,\frac{\,2\,}{3}(a^2-t^2)\!\raisebox{7pt}{\small$ \frac{\,3\,}{2}$}\,\right]_0^a \\[1.5mm]\hspace*{12zw} =\ansbox{\dfrac{\,2\,}{3}a^2 b}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(イ)} \\[2mm] \quad 曲線x^2+y^2=a^2,\ \,z=\frac{\,b\,}{a}y上の動点\mbox{Q}が点(a,\ 0,\ 0) から点(0,\ a,\ b)を通って\\[1.5mm]点(-a,\ 0,\ 0)まで動くとき \\[.5mm] \hspace*{6zw} \mbox{Q}(a\cos\theta,\ \,a\sin\theta,\ \,b\sin\theta),\ \ 0\leqq \theta\leqq \frac{\,\pi\,}{2} \\[2mm] と表されるから,座標平面上でまっすぐに延ばすと,点\mbox{Q}が描く曲線は\\[1.5mm] \hspace*{6zw} x=a\theta,\ \,y=b\sin\theta,\ \,0\leqq \theta\leqq \frac{\,\pi\,}{2} \ \ (z=0) \\[1.5mm] と合同になる。したがって,立体Bの側面は \\[1mm] \hspace*{6zw} 0\leqq y\leqq b\sin\frac{\,x\,}{a},\ \ 0\leqq x\leqq a\pi \\ [2mm]と合同であり,その面積S_1\,は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S_1=\int_0^{\hspace*{1pt}a\pi}\! b\sin\frac{\,x\,}{a}\,dx =\left[\,-ab\cos\frac{\,x\,}{a}\,\right]_0^{a\pi}=\ansbox{2ab}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ウ)} \\[2mm] \,S_1+S_2=2ab+\frac{1}{\,2\,}\pi a^2=3\pi\ のもとでa,\ bを動かすとき \\[1mm] \hspace*{6zw} b=-\frac{\,\pi\,}{4}a+\frac{3\pi}{\,2a\,} =\frac{\pi}{\,4a\,}(-a^2+6) \\[2mm] \,a>0,\ \,b>0より定義域は0<a<\sqrt{\,6\,}\,であり,\\[1.5mm] \hspace*{6.2zw} V=\frac{\,\pi\,}{6}(-a^3+6a) \\[1.5mm] である。\ \ aで微分して,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,dV\,}{da}=\frac{\,\pi\,}{6}(-3a^2+6)=\frac{\,\pi\,}{2} (\sqrt{\,2\,}+a)(\sqrt{\,2\,}-a) \\[2mm] は\ 0<a<\sqrt{\,6\,}\ において\,\sqrt{\,2\,}-aと同符号であるから,\ \ aの関数としてVの増減は \\[1mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{.5mm} a &\, (0) & & \raisebox{-1pt}{$\sqrt{\,2\,}$} & & (\raisebox{-1pt} {$\sqrt{\,6\,}$}\,) \,\\[.5mm]\hline\tabtopsp{2.5mm} \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{$dV$}\,}{da} & & + & 0 & - & \\[2.5mm] \hline V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\[2mm] となり,\ \ Vは \\[1mm] \hspace*{8zw} a=\ansbox{\sqrt{\,2\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(エ)} \\ [1.5mm]のとき極大かつ最大である。このとき,\\[1.5mm]\hspace*{8zw} b=\ansbox{\dfrac{\pi}{\sqrt{\,2\,}\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(オ)} \\ [1.5mm]である。$ \end{document}