東京大学 文系 2009年度 問2

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解答作成者: 安田 亨

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 文系
年度 2009年度
問No 問2
学部 文科一類 ・ 文科二類 ・ 文科三類
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book2} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \usepackage{custom_yasuda} \begin{document} \lineskip =4pt \lineskiplimit =4pt \begin{FRAME} 自然数$m\geq 2$に対し,$m-1$個の二項係数\[ \Comb {m}{1}, \Comb {m}{2},\cdots \cdots ,\Comb {m}{m-1} \] を考え,これらすべての最大公約数を$d_m$とする.すなわち$d_m$はこれらすべてを割り切る最大の自然数である. \begin {shomonr} $m$が素数ならば,$d_m=m$であることを示せ.\end {shomonr} \begin {shomonr} すべての自然数$k$に対し,$k^m-k$が$d_m$で割り切れることを,$k$に関する数学的帰納法によって示せ.\end {shomonr} \end{FRAME} \vspace{4mm} \h\kai\quad \Shomonbr $1\leq i\leq m-1$のとき \[ \Comb{m}{i}=\dfrac{m(m-1)\cdots\cdots(m-i+1)}{i(i-1)\cdots\cdots 1} \] は整数だから分母は約分されてなくなるが,分子の$m$は素数,$1\leq i\leq m-1$だから$m$は約分されないで残る.よって$\Comb{m}{i}$は$m$の倍数である.また$\Comb{m}{1}=m$だから$m$より大きな整数では割り切れない.ゆえに$d_m=m$である. %\H\includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-bun4-1.eps} \Shomonbr $f(k)=k^m-k$とおく. $f(1)=1^m-1=0$は$d_m$で割り切れるから \[ f(k)がd_mで割り切れる \tenten\tag{} \] は$k=1$のときに成り立つ. \[ f(k+1)=(k+1)^m-(k+1) \] \[ \H \quad =k^m+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}k^i+1-(k+1) \] \[ \H \quad =k^m-k+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}k^i =f(k)+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}k^i \] $\Comb{m}{i},\;1\leq i\leq m-1$はすべて$d_m$の倍数であるから \[ f(k+1)=f(k)+d_mN_k\quad (N_kは整数) \] の形に書ける. \mruichi が$k=l$で成り立つとすると$f(l)$は$d_m$で割り切れて$f(l+1)=f(l)+d_mN_l$は$d_m$で割り切れる.数学的帰納法により証明された. \end{document}