東京大学 文系 2009年度 問1

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解答作成者: 安田 亨

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 文系
年度 2009年度
問No 問1
学部 文科一類 ・ 文科二類 ・ 文科三類
カテゴリ
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book2} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \usepackage{custom_yasuda} \begin{document} \lineskip =4pt \lineskiplimit =4pt \begin{FRAME} 座標平面において原点を中心とする半径2の円を$C_1$とし,点$(1,0)$を中心とする半径1の円を$C_2$とする.また,点$(a,b)$を中心とする半径$t$の円$C_3$が,$C_1$に内接し,かつ$C_2$に外接すると仮定する.ただし,$b$は正の実数とする. \vspace{2mm} \begin {shomonr} $a,b$を$t$を用いて表せ.また,$t$がとり得る値の範囲を求めよ.\end {shomonr} \begin {shomonr} $t$が\kakkoichi で求めた範囲を動くとき,$b$の最大値を求めよ. \end {shomonr} \end{FRAME} \vspace{4mm} \h\kai\quad \Shomonbr A$(1,0)$,P$(a,b)$とする. $C_3$が$C_1$に内接するから \[ \hen{OP}=2-t \] $C_3$が$C_2$に外接するから \[ \hen{AP}=1+t \] \H\includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-bun1.eps} 以下,$0<t<2$の条件のもとで, \[ a^2+b^2=(2-t)^2 \tenten\tag{} \] \[ (a-1)^2+b^2=(1+t)^2 \tenten\tag{} \] を解く.$\mruichi - \mruni$より \[ \bd{a=2-3t} \] \mruichi に代入し \[ b^2=(2-t)^2-(2-3t)^2 \] \[ b^2=8t-8t^2 \] $b>0$だから \[ \bd{b=2\sqrt{2(t-t^2)}} \] $t-t^2>0,\;0<t<2$より$\bd{0<t<1}$ \Shomonbr $ t-t^2=\dfrac{1}{4}-\p{t-\dfrac{1}{2}}^2 $\\ は$t=\dfrac{1}{2}$で最大値$\dfrac{1}{4}$をとる.$b$の最大値は \[ b=2\sqrt{2\cdot \dfrac{1}{4}}=\bd{\sqrt{2}} \] \vspace{2mm} \begin{Chu} 【{\gt 本来の範囲は数学C}】 $\hen{OP}=2-t,\;\hen{AP}=1+t$を辺ごとに加えると$\hen{OP}+\hen{AP}=3$ となり,Pの軌跡はO,Aを焦点とし,長軸の長さが3の楕円です.楕円の方程式は \[ \dfrac{\p{x-\dfrac{1}{2}}^2}{\p{\dfrac{3}{2}}^2}+ \dfrac{y^2}{(\sqrt{2})^2}=1 \] となります. これは数学Cの範囲の内容であり,過去の出題例は理系での出題が圧倒的に多い.数学Cの内容でも,日本語の書き方によっては出題も可能ということでしょうか?理系には練習問題で解かせますが,文系では扱わない内容です.盲点を突かれた感じで,微妙に不愉快です. \H\includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-bun2.eps} \end{Chu} \end{document}