京都大学 理系甲 2009年度 問3

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系甲
年度 2009年度
問No 問3
学部 医 ・ 教育(理)
カテゴリ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $x$,$y$は$x\noteq1$,$y\noteq1$をみたす正の数で,不等式 \[ \log_xy+\log_yx>2+(\log_x2)(\log_y2) \] をみたすとする.このとき$x$,$y$の組$(x,\ y)$の範囲を座標平面上に図示せ よ. \end{FRAME} %kai \quad $\log_2x=X$,$\log_2y=Y$とおくと,$x$,$y$は1でない正の数だから $X\noteq0$,$Y\noteq0$であり, \begin{gather*} \log_xy=\Frac{\log_2y}{\log_2x}=\Frac{Y}{X}\ten \log_yx=\Frac{\log_2x}{\log_2y}=\Frac{X}{Y}\\ \log_x2=\Frac{1}{\log_2x}=\Frac{1}{X}\ten \log_y2=\Frac{1}{\log_2y}=\Frac{1}{Y} \end{gather*} となるので,与式から \begin{gather*} \Frac{Y}{X}+\Frac{X}{Y}>2+\Frac{1}{X}\cdot\Frac{1}{Y}\\ \yue \Frac{X^2+Y^2}{XY}>\Frac{2XY+1}{XY}\\ \yue \Frac{(Y-X)^2-1}{XY}>0 \end{gather*} \ajKakkoroman{1}\ $XY>0$すなわち$(x-1)(y-1)>0$のとき, \begin{gather*} \abs{Y-X}>1\yuen \log_2\Frac{y}{x}<-1\ \text{または}\ \Frac{y}{x}>1\\ \yue y<\Frac{1}{2}x\ \text{または}\ y>2x \end{gather*} \ajKakkoroman{2}\ $XY<0$すなわち$(x-1)(y-1)<0$のとき, \begin{gather*} \abs{Y-X}<1\yuen -1<\log_2\Frac{y}{x}<1\\ \yue \Frac{1}{2}x<y<2x \end{gather*} 以上から,求める範囲は次の図の斜線部(境界は含まない). \begin{center} \input{09kou3fig1.tex} \end{center} %\betu %\chu \end{document}