東京工業大学 後期 2006年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 後期
年度 2006年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 三角関数 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=135mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.8zw}\parbox{130mm}{\quad$a,\ bを正の数とする。\ \ xy座標平面において, 楕円ax^2+by^2=1の第4象限 \\[1mm]\ (x\geqq 0,\ \,y\leqq 0)に含まれる部分を C,\ \ 傾きt\geqq 0の半直線y=tx\,(x\geqq 0)をl_t \\[1.5mm] \,とする。\ \,l_{\hspace*{1pt}t}\hspace*{1pt}上の点\hspace*{1pt}P\hspace* {1pt}と\hspace*{1pt}C\hspace*{1pt}上の点\hspace*{1pt}P\hspace*{1pt}'\hspace* {1pt}を結ぶ線分\hspace*{1pt}P\hspace*{-1pt}P\hspace*{1pt}'\hspace*{1pt}がy軸に 平行になるように動 \\[1.5mm] \,く\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き,線\hspace*{.3pt}分P\hspace*{-1pt}P \hspace*{1pt}'\,の\hspace*{.3pt}長\hspace*{.3pt}さ\hspace*{.3pt}を\hspace* {.3pt}最\hspace*{.3pt}大\hspace*{.3pt}に\hspace*{.3pt}す\hspace*{.3pt}るPを P_{\hspace*{1pt}t}\hspace*{1pt}で\hspace*{.3pt}表\hspace*{.3pt}し,\ \ t\geqq 0が\hspace*{.3pt}変\hspace*{.5pt}化\hspace*{.5pt}す\hspace*{.5pt}る \hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}き \\[1.5mm] \,にP_{\hspace*{1pt}t}\,が\hspace*{1pt}描\hspace*{1pt}く\hspace*{1pt}曲 \hspace*{1pt}線\hspace*{1pt}をC\hspace*{1pt}'\,と\hspace*{1pt}す\hspace* {1pt}る。ま\hspace*{1.2pt}た,楕\hspace*{1pt}円\ a\hspace*{.5pt}x^{\hspace* {.5pt}2}\hspace*{.5pt}+\hspace*{.5pt}b\hspace*{.5pt}y^{\hspace*{.5pt}2}\hspace* {.5pt}=\hspace*{.5pt}1\ とC\hspace*{1pt}'\,と\hspace*{1.2pt}の\hspace*{1.2pt}交 \hspace*{1.2pt}点\hspace*{1.2pt}を \\[1.5mm] \,Q\hspace*{1pt}(\hspace*{.5pt}\alpha,\hspace*{5pt}\beta\hspace*{.5pt})とする。\\[9mm]% (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ 曲線C\hspace*{1pt}'\,の方程式y=f\,(x)を求めよ。\\[9mm] (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,\alpha\,と\,\beta\,を求めよ。\\[9mm] (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ 直線y=\beta,\ \,曲線C\hspace*{1pt}'\,およびy軸が 囲む領域を\makebox[1.1zw][c]{$D$}とする。\ \makebox[1.1zw][c]{$D$}をy軸の回りに\\[1.5mm] \quad 1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\quad \mbox{P}'\Bigl(\frac{1}{\sqrt{\,a\,}\,}\cos\theta,\ -\frac{1} {\sqrt{\,b\,}\,}\sin\theta\Bigr),\ \,\mbox{P}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{\,a\,}\,} \cos\theta,\ \frac{t}{\sqrt{\,a\,}\,}\cos\theta\Bigr)\ \ \Bigl(0<\theta <\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr)\\[1.5mm]\quad とおくことができて,\\[1.5mm] \makebox[7.7zw][r]{PP$'$}=\frac{1}{\sqrt{\,b\,}\,}\sin\theta +\frac{t}{\sqrt{\,a\,}\,}\cos\theta \\[1mm] \hspace*{7.7zw} =\frac{1}{\sqrt{\,ab\,}\,}\bigl(\sqrt{\,a\,}\sin\theta +\sqrt{\,b\,}t\cos\theta\bigr) \\[1mm] \hspace*{7.7zw} =\frac{\sqrt{\,a+bt^2\,}\,}{\sqrt{\,ab\,}\,}(\sin\theta \cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha) \\[1mm]\hspace*{7.7zw} =\frac{\sqrt{\,a+bt^2\,}\,}{\sqrt{\,ab\,}\,}\sin(\theta+\alpha) \\[2mm] \quad ただし,\ \ \alpha\,は \\[.5mm] \hspace*{6zw} \cos\alpha=\frac{\sqrt{\,a\,}\,}{\sqrt{\,a+bt^2\,}\,},\ \, \sin\alpha=\frac{\sqrt{\,b\,}t}{\sqrt{\,a+bt^2\,}\,} \ \ \ \Bigl(0\leqq\alpha<\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr) \\[2mm] \quad を満たす定数である。\\[1.5mm] \qquad\, \alpha<\theta+\alpha<\frac{\,\pi\,}{2}+\alpha\ より\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \mbox{PP}'\,は\ \theta+\alpha=\frac{\,\pi\,}{2}\,のとき最大 \\ [2mm]\quad であり,このとき\mbox{P}(x,\ y)とおくと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \left\{\begin{array}{@{}l} x=\dfrac{1}{\sqrt{\,a\,}\,} \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{\,a\,}\,}\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{\,b\,}t} {\sqrt{\,a\,}\sqrt{\,a+bt^2\,}\,} \\[2mm] y=\dfrac{t}{\sqrt{\,a\,}\,}\cos\theta=tx \end{array}\right. \\[3mm] \quad\, x=0のとき\ t=0,\ \,y=0であり,\ \ x\neq 0のとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} t=\frac{\,y\,}{x} \\[2mm] \quad\, tを消去すると \\[.5mm] \hspace*{6zw} x=\frac{\raisebox{2mm}{$\sqrt{\,b\,}\ten\dfrac{\,y\,}{x}$}} {\sqrt{\,a\,}\sqrt{\,a+b\ten\dfrac{\,y^2}{\,x^2}\,}\,} =\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace*{1pt}}\hspace*{1pt}y}{\sqrt{\,a\,} \sqrt{\,ax^2+b\hspace*{.5pt}y^2\,}\,} \\[2mm]\hspace*{6zw} \sqrt{\hspace*{.5pt}a\hspace*{1pt}}\hspace*{1pt}x \sqrt{\,ax^2+b\hspace* {.5pt}y^2\,}=\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace*{1pt}}\hspace*{1pt}y \\ \hspace*{6.5zw} ax^2(ax^2+b\hspace*{.5pt}y^2)=b\hspace*{.5pt}y^2 \\ \hspace*{6.5zw} (1-ax^2)b\hspace*{.5pt}y^2=a^2 x^4 \\[.5mm] \quad\, f(0)=0とあわせて,\ \ y=f(x)\geqq 0より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} f(x)=\frac{ax^2}{\sqrt{\,b\hspace*{.5pt}(1-ax^2)\,}\,}\ \ \Bigl(0\leqq x<\frac{1}{\sqrt{\,a\,}\,}\Bigr)\ \ \ (答) \\[4mm] \ \,\paalen{\textgt{別解}}\ \ \,\mbox{P}(p,\ tp)\ \Bigl(0\leqq p\leqq \dfrac{1} {\sqrt{\hspace*{.5pt}a\hspace*{1pt}}\,}\Bigr)とおくと \\[1mm] \hspace*{6zw} \mbox{PP}'=t\hspace*{.5pt}p+\frac{1}{\sqrt{\,b\,}\,} \sqrt{\,1-ap^2\,} \\[1mm] \quad これをg(p)とおき,\ \ 0<p<\frac{1}{\sqrt{\,a\,}\,}\,の範囲で微分すると \\ [1mm]\hspace*{6zw} g\hspace*{1pt}'(p)=t+\frac{1}{\sqrt{\,b\,}\,}\ten \frac{(1-ap^2)'}{\,2\sqrt{\,1-ap^2\,}\,}=\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace* {1pt}}\hspace*{1pt}t\sqrt{\,1-ap^2\,}-ap\,}{\sqrt{\,b\,}\sqrt{\,1-ap^2\,}\,} \\[2mm]\quad\, a>0,\ \,b>0,\ \,p>0,\ \,t\geqq 0を考え,\ \ g\hspace*{1pt}'(p)の 符号を調べると \\[1mm] \makebox[10zw][r]{$g\hspace*{1pt}'(p)>0$}\iff\!\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace* {1pt}}\hspace*{1pt}t\sqrt{\,1-ap^2\,}>ap \\ \hspace*{10zw} \iff b\hspace*{.5pt}t^2(1-ap^2)>a^2 p^2 \\ \hspace*{10zw} \iff a(a+b\hspace*{.5pt}t^2)\hspace*{.5pt}p^2<b\hspace*{.5pt}t^2 \\[1mm] \hspace*{10zw} \iff p^2<\frac{b\hspace*{.5pt}t^2}{\,a(a+b\hspace*{.5pt}t^2) \,} \iff p<\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace*{1pt}}\hspace*{1pt}t} {\sqrt{\,a\,}\sqrt{\,a+b\hspace*{.5pt}t^2\,}\,} \\[1.5mm] \quad であるから,\ \ g(p)の増減は \\[1mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{4mm} p &\ 0 & & \dfrac{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace*{1pt}}\hspace*{1pt}t}{\sqrt{\,a\,} \sqrt{\,a+b\hspace*{.5pt}t^2\,}\,} & & \dfrac{1}{\sqrt{\,a\,}\,} \\[3mm] \hline g\hspace*{1pt}'(p) & & + & 0 & - & \\ \hline g(p) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\[2mm] \quad\,\mbox{P}_t(x,\ y)とすると \\[.5mm] \hspace*{6zw} x=\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace*{1pt}}\hspace*{1pt}t} {\sqrt{\,a\,}\sqrt{\,a+b\hspace*{.5pt}t^2\,}\,} \,\ かつ \,\ y=tx \\ \hfill \paalen{以下同様} \hspace*{6zw}\\[7mm] (2)\ \ C\hspace*{.5pt}'\,は第1象限内にあるから\ \alpha>0,\ \,\beta>0\ であり, \\[1mm] \hspace*{6zw} \beta=\frac{1}{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace*{1pt}}\,} \sqrt{\hspace*{1pt}1-a\alpha^2\,} \,\ かつ \,\ \beta=\frac{a\alpha^2} {\sqrt{\hspace*{1pt}b\hspace*{.5pt}(1-a\alpha^2)\,}\,} \\[1.5mm] \quad\, \beta\,を消去して \\ \hspace*{6zw} 1-a\alpha^2=a\alpha^2 \hspace*{3zw} \therefore\ \,\alpha= \frac{1}{\sqrt{\hspace*{1pt}2\hspace*{.5pt}a\,}\,} \ \ \ (答) \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\ \, \beta=\frac{1}{\sqrt{\hspace*{.5pt}b\hspace* {1pt}}\,}\sqrt{\hspace*{1pt}1-a\ten\frac{1}{\,2a\,}\,} =\frac{1}{\sqrt{\hspace*{1pt}2\hspace*{.5pt}b\,}\,} \ \ \ (答) \\[7mm] \makebox[7zw][l]{(3)\quad\ \ $\beta-f(x)$}=\frac{\sqrt{\,1-ax^2\,}-\sqrt{\,2\,} ax^2\,}{\sqrt{\,2\hspace*{.5pt}b\hspace*{.5pt}(1-ax^2)\,}} \\[1mm] \hspace*{7zw} =\frac{(1-ax^2)-2a^2 x^4}{\sqrt{\hspace*{1pt}2\hspace*{.5pt}b \hspace*{.5pt}(1-ax^2)\hspace*{1pt}}\bigl(\!\sqrt{\,1-ax^2\,} +\sqrt{\,2\,}ax^2\bigr)\,} \\[1mm]\hspace*{7zw} =\frac{(1+ax^2)(1-2ax^2)}{\sqrt{\hspace*{1pt}2\hspace*{.5pt}b\hspace*{.5pt} (1-ax^2)\hspace*{1pt}}\bigl(\!\sqrt{\,1-ax^2\,}+\sqrt{\,2\,}ax^2\bigr)\,} \\ [2mm]\quad より,題意の領域Dは \\[1mm] \hspace*{6zw} 0\leqq x\leqq \frac{1}{\sqrt{\,2a\,}\,} \,\ かつ \,\ f(x)\leqq y\leqq \beta=\frac{1}{\sqrt{\,2b\,}\,} \\[2mm] \quad であり,\ \ Dをy軸のまわりに回転させてできる立体の体積Vは \\[1mm] \hspace*{6zw} V=\int_0^{\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a}\,}$}} 2\pi x\Bigl(\frac{1} {\sqrt{\,2b\,}\,}-\frac{ax^2}{\sqrt{\,b(1-ax^2)\,}\,}\Bigr)\,dx \\[1.5mm] \quad ここで,\\ \hspace*{5zw} \int_0^{\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a}\,}$}} \frac{\,2\pi x\,} {\sqrt{\,2b\,}\,}\,dx=\frac{\pi}{\sqrt{\,2b\,}\,}\Bigl[\,x^2\,\Bigr]_0 ^{\!\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a}\,}$}}=\frac{\pi}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}\ten \frac{1}{\,a\sqrt{\,b\,}\,} \\[2mm] \hspace*{5zw} \int_0^{\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a}\,}$}} 2\pi x\ten \frac{-ax^2}{\sqrt{\,b(1-ax^2)\,}\,}\,dx \\[1mm]\hspace*{5zw} =\frac{\pi}{\sqrt{\,b\,}\,}\!\int_0^{\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a}\,}$}} \frac{\,1-ax^2-1\,}{\sqrt{\,1-ax^2\,}\,}\ten 2x\,dx \\[1mm] \hspace*{5zw} =\frac{\pi}{\sqrt{\,b\,}\,}\!\int_0^{\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a} \,}$}} \Bigl\{(1-ax^2)\!\raisebox{6pt}{\small$\frac{1}{\,2\,}$}-\frac{1} {\sqrt{\,1-ax^2\,}\,}\Bigr\}\frac{\,(1-ax^2)'}{-a}\,dx \\[1.5mm] \hspace*{5zw} =-\frac{\pi}{\,a\sqrt{\,b\,}\,}\left[\,\frac{\,2\,}{3}(1-ax^2) \!\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$}-2\sqrt{\,1-ax^2\,}\,\right]_0 ^{\!\mbox{$\frac{1}{\sqrt{2a}\,}$}}=\frac{\,5\sqrt{\,2\,}-8\,}{6}\ten \frac{\pi}{\,a\sqrt{\,b\,}\,} \\[2mm] \quad であるから,求める体積Vは \\[1.5mm] \hspace*{6zw} V=\Bigl(\frac{1}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}+\frac{\,5\sqrt{\,2\,}-8\,} {6}\Bigr)\frac{\pi}{\,a\sqrt{\,b\,}\,}=\frac{\,13\sqrt{\,2\,}-16\,} {12a\sqrt{\,b\,}}\,\mbox{\large$\pi$} \ \ \ (答) $ \end{document}