東京大学 文系 2009年度 問3

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解答作成者: 安田 亨

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 文系
年度 2009年度
問No 問3
学部 文科一類 ・ 文科二類 ・ 文科三類
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book1} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \usepackage{custom_yasuda} \begin{document} \lineskip =4pt \lineskiplimit =4pt \begin{FRAME} スイッチを1回押すごとに,赤,青,黄,白のいずれかの色の玉が1個,等確率$\dfrac{1}{4}$で出てくる機械がある.2つの箱LとRを用意する.次の3種類の操作を考える. \leftskip=2zw \h{\bfseries (A)}\quad 1回スイッチを押し,出てきた玉をLに入れる. \h{\bfseries (B)}\quad 1回スイッチを押し,出てきた玉をRに入れる. \h{\bfseries (C)}\quad 1回スイッチを押し,出てきた玉と同じ色の玉が,Lになければその玉をLに入れ,Lにあればその玉をRに入れる. \leftskip=0zw \begin{shomonr} LとRは空であるとする.操作{\bfseries (A)}を5回おこない,さらに操作{\bfseries (B)}を5回おこなう.このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率 $\hen{P}_1$を求めよ. \end{shomonr} \begin{shomonr} LとRは空であるとする.操作{\bfseries (C)}を5回おこなう.このときLに4色すべての玉が入っている確率$\hen{P}_2$を求めよ. \end{shomonr} \begin{shomonr} LとRは空であるとする.操作{\bfseries (C)}を10回おこなう.このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率を$\hen{P}_3$とする.$\dfrac{\hen{P}_3}{\hen{P}_1}$を求めよ. \end {shomonr} \end{FRAME} \vspace{2mm} \textgt{理\ajKaku{3}と共通} \vspace{4mm} \h\kai\quad \Shomonbr 操作{\bfseries (A)}を5回おこなうとき,出る順に玉を一列に並べるとする.Lに4色すべての玉が入るとき,赤,青,黄,白のいずれかが2回出る. 赤が2回出るとき.赤2個,青,黄,白の並び方が$\dfrac{5!}{2!}=60$通りある.他の色が2回出る場合も考え,Lに4色すべての玉が入る確率は$4\cdot 60\p{\dfrac{1}{4}}^5$である. \[ \hen{P_1}=\B{4\cdot 60\p{\dfrac{1}{4}}^5}^2 =\p{\dfrac{15}{4^3}}^2 =\bd{\dfrac{225}{4096}} \] \Shomonbr $\hen{P_2}=4\cdot 60\p{\dfrac{1}{4}}^5 =\dfrac{15}{4^3} =\bd{\dfrac{15}{64}}$ \Shomonbr 次の2つの場合がある. \h \kakkoa \quad 赤,青,黄,白のうちの1つが4回出て他が2回ずつ出るとき. \h \kakkoi \quad 赤,青,黄,白のうちの2つが3回出て他が2回ずつ出るとき. \kakkoa のときは,どれが4回出るかで4通り,\kakkoi のときはどの2つが3回出るかで$\Comb{4}{2}=6$通りあるから \[ \hen{P_3}=4\cdot \dfrac{10!}{4!2!2!2!}\p{\dfrac{1}{4}}^{10}+6\cdot \dfrac{10!}{3!3!2!2!}\p{\dfrac{1}{4}}^{10} \] \[ \dfrac{\hen{P_3}}{\hen{P_1}} =\dfrac{4\cdot \dfrac{10!}{4!2!2!2!}+6\cdot \dfrac{10!}{3!3!2!2!}}{(4\cdot60)^2} \] \[ \quad \quad =\dfrac{\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{2}+\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{4}}{4\cdot 4\cdot 60\cdot 60} \] \[ \quad \quad =\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 3\cdot 5+10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 4\cdot 60\cdot 60} \] \[ \quad \quad =\dfrac{9\cdot 7\cdot 3+9\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 6\cdot 6} =\dfrac{ 7\cdot 3+ 7\cdot 6}{4\cdot 2\cdot 2} =\bd{\dfrac{63}{16}} \] \end{document}