東京大学 理系 2009年度 問4

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解答作成者: 安田 亨

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 理系
年度 2009年度
問No 問4
学部 理科一類 ・ 理科二類 ・ 理科三類
カテゴリ
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book2} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \usepackage{custom_yasuda} \begin{document} \begin{FRAME} \lineskip =4pt \lineskiplimit =4pt $a$を正の実数とし,空間内の2つの円板\[ D_1=\{(x,y,z)\;|\;x^2+y^2\leq 1,z=a\} \] \[ D_2=\{(x,y,z)\;|\;x^2+y^2\leq 1,z=-a\} \] を考える.$D_1$を$y$軸の回りに$180 \ddo $回転して$D_2$に重ねる.ただし回転は$z$軸の正の部分を$x$軸の正の方向に傾ける向きとする.この回転の間に$D_1$が通る部分を$E$とする.$E$の体積を$V(a)$とし,$E$と$\{(x,y,z)\;|\;x\geq 0\}$との共通部分の体積を$W(a)$とする. \begin {shomonr} $W(a)$を求めよ.\end {shomonr} \begin {shomonr} $\lim _{a\to \infty } V(a)$を求めよ. \end {shomonr} \end{FRAME} \vspace{4mm} \h\kai\quad \Shomonbr $D_1$を平面$y=t$で切る. 断面は,線分$x^2+t^2\leq 1,\;z=a$である. \[ -\sqrt{1-t^2}\leq x\leq \sqrt{1-t^2},\;z=a \] これを$z$軸の正方向から見たのが図2の太線である.これを$y$軸の負の方向から見た図が図3の太線である.図3では$y$軸は紙面に垂直である. $R=\sqrt{a^2+1-t^2} $として,$E$と$\{(x,y,z)\;|\;x\geq 0\}$との共通部分を平面$y=t$で切った断面は図3の網目部分で,断面積$S_1$は \[ S_1=\dfrac{\pi}{2}R^2-\dfrac{\pi}{2}a^2 =\dfrac{\pi}{2}(1-t^2) \] \[ W(a)=\dint{-1}{1}S_1dt =\pi \dint{0}{1}(1-t^2)dt =\bd{\dfrac{2}{3}\pi } \] \includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-ri4-1.eps} \includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-ri4-2.eps} \includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-ri4-3.eps} \Shomonbr 図3の斜線部分の面積を$S_2$とする. 上の斜線部分は長方形ABCDより小さい. \quad $\h \hen{AB}=\sqrt{1-t^2},\; \hen{CD}=R-a$であり,以下 $0\leq t^2\leq 1$に注意して \[ 0<S_2<(長方形\hen{ABCD}の面積)\times 2 \] \[ \H =2(R-a)\sqrt{1-t^2}\leq 2(R-a) \] \[ \H =2(\sqrt{a^2+1-t^2}-a) \] \[ \H =2\cdot \dfrac{1-t^2}{\sqrt{a^2+1-t^2}+a} \] \[ \H \leq \dfrac{2}{\sqrt{a^2+1-t^2}+a} \leq \dfrac{2}{\sqrt{a^2}+a}=\dfrac{1}{a} \] \[ 0<\dint{-1}{1}S_2dt<\dint{-1}{1}\dfrac{1}{a}dt=\dfrac{2}{a} \] $E$を平面$y=t$で切った断面積は$S_1+S_2$だから \[ V(a)=\dint{-1}{1}(S_1+S_2)dt =\dint{-1}{1}S_1dt+\dint{-1}{1}S_2dt \] \[ \H =\dfrac{2}{3}\pi +\dint{-1}{1}S_2dt \] \[ \dfrac{2}{3}\pi <V(a)<\dfrac{2}{3}\pi+\dfrac{2}{a} \] $\lim_{a\to\infty} \dfrac{2}{a}=0$ とハサミウチの原理から \[ \bd{\lim_{a\to\infty} V(a)= \dfrac{2}{3}\pi} \] \end{document}