東京工業大学 前期 2006年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2006年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[4pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[4pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \def\upleft{\begin{picture}(12,12) \put(1, 7.8){\arc{17}{0}{1.5}} \path(8.2, 5.5)(9.55, 7.8)(10.2, 5.3) \end{picture}} \def\upright{\begin{picture}(12,12) \put(10,-1){\arc{17}{-3.1}{-1.6}} \path(7.5, 8.3)(10, 7.7)(7.8, 6.2) \end{picture}} \def\downleft{\begin{picture}(12,12) \put(10, 7.8){\arc{17}{1.6}{3.1}} \path(7.8, 0.7)(10, -0.9)(7.5, -1.5) \end{picture}} \def\downright{\begin{picture}(12,12) \put(1,-1){\arc{17}{-1.55}{0}} \path(8.2, 1.3)(9.55, -1)(10.2, 1.5) \end{picture}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{132mm}{\quad 以下の問に答えよ。$ \\[9mm] (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,a,\hspace*{5pt}b\ を\hspace*{.5pt}正 \hspace*{.5pt}の定\hspace*{.5pt}数\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}し,\ \ \textsl{g}\hspace*{2pt}(\makebox[5pt][c]{$t$})\hspace*{-1pt}=\hspace*{-1pt} \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\hspace*{5pt}b\hspace*{5pt}}\hspace*{1pt} t^{\hspace*{1pt}a}\!-\log tと\hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}く。\ \ t>0に\hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}け\hspace*{.5pt}る\hspace*{.5pt}関\hspace* {.5pt}数\\[1.5mm] \quad\,\textsl{g}\hspace*{2.5pt}(\makebox[5pt][c]{$t$})\hspace*{1pt}の増減 を調べ極値を求めよ。\vspace*{9mm}\\ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,mを正の定数とし,\ \ xy座標平面において条件 \\ [1.5mm]\quad(\mbox{\large a})\ \ \,y>x>0\ \,;\qquad\ (\mbox{\large b})\ \ すべてのt>0に対し\,\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\hspace*{5pt}y\hspace*{5pt}} \hspace*{1pt}t^{\hspace*{1pt}x}\!-\log t \geqq m \vspace*{1mm}\\ \quad を満たす点\raisebox{.5pt}{$(x,\ \,y)$}からなる領域をDとする。\ \ Dの概形を図示せよ。\vspace*{9mm}\\ \raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})}の 領域Dの面積を求めよ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[2mm] (1)\ \ \ \textsl{g}\,'(t)=\frac{\,a\,}{b}t^{\,a-1}-\frac{\,1\,}{t}=\frac{a} {\,b\hspace*{.5pt}t\,}\Bigl(t^{\hspace*{1pt}a}-\frac{\,b\,}{a}\Bigr) \\[2mm] \quad\, a>0,\ \,b>0,\ \,t>0より \\[.5mm]\hspace*{6zw} \textsl{g}\,'(t)>0 \iff t^{\hspace*{1pt}a}>\frac{\,b\,}{a} \iff t>\Bigl( \frac{\,b\,}{a}\Bigr)\!\raisebox{7pt}{$\frac{1}{\,a\,}$} \\[1.5mm] \quad であるから,\ \ \textsl{g}(t)の増減は \vspace*{1mm}\\ \hspace*{6zw}\begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2.5mm}% t &\ (0) & & \Bigl(\dfrac{\,b\,}{a}\Bigr)\!\raisebox{7pt}{$\frac{1}{\,a\,}$} \!& & (+\infty) \\[2mm] \hline \textsl{g}\,'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline \textsl{g}(t) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \vspace*{1.5mm}\\ \quad よって,\ \ \textsl{g}(t)の極値は \vspace*{1mm}\\ \hspace*{5zw} \left\{\!\begin{array}{ll} 極大値 & なし \\[1mm] 極小値 &\! \textsl{g}\biggl(\!\Bigl(\dfrac{\,b\,}{a}\Bigr)\!\raisebox{7pt} {$\frac{1}{\,a\,}$}\!\biggr)\!=\dfrac{1}{\,b\,}\ten\dfrac{\,b\,}{a}-\log \Bigl(\dfrac{\,b\,}{a}\Bigr)\!\raisebox{7pt}{$\frac{1}{\,a\,}$}=\dfrac{1} {\,a\,}\!\Bigl(1-\log\dfrac{\,b\,}{a}\Bigr) \end{array}\right. (答) \\[7mm] \raisebox{.5pt}{(2)\ \,(1)}より,\ \ x>0,\ \,y>0のもとで\\[2mm]\makebox[7zw][r] {(b)}\iff \frac{1}{\,x\,}\Bigl(1-\log\frac{\,y\,}{x}\Bigr)\geqq m \\[1.5mm] \hspace*{7zw} \iff \log\frac{\,ex\,}{y}\geqq mx $ \newpage $\displaystyle \\[-3mm] \hspace*{7zw} \iff \frac{\,ex\,}{y} \geqq e^{mx} \vspace*{1.5mm}\\ \hspace*{7zw} \iff y\leqq x\hspace*{.5pt}e^{\hspace*{.5pt}1-mx} \\[1mm] \quad\,f(x)=x\hspace*{.5pt}e^{\hspace*{.5pt}1-mx}\ (x>0)とおくと \\[1mm] \hspace*{6zw} f'(x)=1\ten e^{\hspace*{.5pt}1-mx}+x\hspace*{.5pt}(-m e^{\hspace*{.5pt}1-mx})=(1-mx)\hspace*{.5pt}e^{\hspace*{.5pt}1-mx} \\[.5mm] \hspace*{6zw} f''(x)=-m\hspace*{.5pt}e^{\hspace*{.5pt}1-mx}+(1-mx)(-m e^{\hspace*{.5pt}1-mx})=m(mx-2)\hspace*{.5pt}e^{\hspace*{.5pt}1-mx} \\[2mm] \quad\, f'(x)は\,\frac{1}{\,m\,}-xと同符号,\ \ f''(x)は\ x-\frac{\,2\,}{m}\,と 同符号であるから,\ \ f(x)の増 \vspace*{2mm}\\ \quad 減,凹凸は次のようになる。\vspace*{1.5mm}\\ \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline\tabtopsp{2mm}% x &\ (0) & & \dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\,\raisebox{.5mm}{$m$}\,} & & \dfrac{\raisebox{-.4mm}{2}}{\,\raisebox{.5mm}{$m$}\,} & &(+\infty) \\[2mm] \hline f'(x) & & + & 0 & - & & - & \\ \hline f''(x) & & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) &\ (0) & \upright & \mbox{\footnotesize 極大}\atop\tabtopsp{1mm} \mbox{\small$\dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\,\raisebox{.5mm}{$m$}\,}$} & \downright & \mbox{\footnotesize 変曲点}\atop\tabtopsp{1mm}\mbox{\small$ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{2}}{\,\raisebox{.5mm}{$me$}\,}$} & \downleft & (0) \ \tabtopsp{2.5mm}\\[4mm] \hline \end{array} \vspace*{2mm}\\ \qquad よって,領域D:x<y\leqq f(x)を図示すると,次図の網目部分となる。\\ \hspace*{7.5zw}\begin{picture}(100,70) \Nuritubusi[.3]{(1,1)(45, 45.2)(38,45)(30,42)(20,35)(13,25)(7,15)(1,1)} \path(-20,0)(-1.5, 0) \put(0,0){\circle{3}} \path(1.5, 0)(200,0) \path(195, -1.5)(200,0)(195, 1.5) \put(194,-8){$x$} \put(-10,-10){O} \path(0,-20)(0, -1.5) \path(0, 1.5)(0,70) \path(-1.5, 65)(0,70)(1.5, 65) \put(-8,65){$y$} \put(-13,43){$\frac{1}{\,m\,}$} \put(39,-12){$\frac{1}{\,m\,}$} \put(84,-12){$\frac{2}{\,m\,}$} \qbezier(1,1)(17, 44.5)(43,45) \put(45,45){\circle{3}} \qbezier(46.5, 45)(68, 44.8)(90,29) \qbezier(90,29)(130,3)(199,2) \allinethickness{.5pt}% \path(3,3)(4.9, 4.9) \path(6.8, 6.8)(8.7, 8.7) \path(10.6, 10.6)(12.5, 12.5) \path(14.4, 14.4)(16.3, 16.3) \path(18.2, 18.2)(20.1, 20.1) \path(22,22)(23.9, 23.9) \path(25.8, 25.8)(27.7, 27.7) \path(29.6, 29.6)(31.5, 31.5) \path(33.4, 33.4)(35.3, 35.3) \path(37.2, 37.2)(39.1, 39.1) \path(41,41)(42.9, 42.9) \allinethickness{.2pt}% \dashline[30]{1.5}(0, 45.2)(42, 45.2) \dashline[30]{1.5}(45,0)(45,42) \dashline[30]{1.5}(90,0)(90,29) \put(220,-10){(答)} \end{picture} \vspace*{12mm}\\ (3)\ \ 領域Dの面積Sは \displaystyle \vspace*{1.5mm}\\ \makebox[6zw][r]{$S$}=\int_0^\frac{1}{\,m\,}(xe^{1-mx}-x)\,dx \\[1mm] \hspace*{6zw} =\left[\,x\Bigl(-\frac{1}{\,m\,}e^{1-mx}\Bigr)-\frac{\,x^2}{2} \,\right]_0^{\!\frac{1}{\,m\,}}+\frac{1}{\,m\,}\!\int_0^\frac{1}{\,m\,}\! e^{1-mx}\,dx \vspace*{1.5mm}\\ \hspace*{6zw} =\frac{1}{\,m\,}\Bigl(-\frac{1}{\,m\,}\Bigr)-\frac{1}{\,2\,} \Bigl(\frac{1}{\,m\,}\Bigr)^{\!2}+\frac{1}{\,m\,}\left[\,-\frac{1}{\,m\,} e^{1-mx}\,\right]_0^{\!\frac{1}{\,m\,}} \vspace*{1.5mm}\\ \hspace*{6zw} =-\frac{3}{\,2m^2}+\frac{1}{\,m^2}(e-1) \vspace*{2mm}\\ \hspace*{6zw} =\frac{\,2e-5\,}{2m^2} \ \ \ (答) $ \end{document}