東京大学 理系 2009年度 問1

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解答作成者: すうじあむ

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 理系
年度 2009年度
問No 問1
学部 理科一類 ・ 理科二類 ・ 理科三類
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book1} %\documentclass[tombow,extract]{yasuda-book2} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \usepackage{custom_yasuda} \begin{document} \begin{FRAME} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt 自然数$m\geq 2$に対し,$m-1$個の二項係数 \[ \Comb{m}{1}, \Comb{m}{2},\cdots \cdots,\Comb{m}{m-1} \] を考え,これらすべての最大公約数を$d_m$とする.すなわち$d_m$はこれらすべてを割り切る最大の自然数である. \begin{shomonr} $m$が素数ならば,$d_m=m$であることを示せ. \end{shomonr} \begin{shomonr} すべての自然数$k$に対し,$k^m-k$が$d_m$で割り切れることを,$k$に関する数学的帰納法によって示せ. \end{shomonr} \begin{shomonr} $m$が偶数のとき$d_m$は1または2であることを示せ. \end{shomonr} \end{FRAME} \vspace{4mm} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \h\kai\quad \Shomonbr $1\leq i\leq m-1$のとき \[ \Comb{m}{i}=\dfrac{m(m-1)\cdots\cdots(m-i+1)}{i(i-1)\cdots\cdots 1} \] は整数だから分母は約分されてなくなるが,分子の$m$は素数,$1\leq i\leq m-1$だから$m$は約分されないで残る.よって$\Comb{m}{i}$は$m$の倍数である.また$\Comb{m}{1}=m$だから$m$より大きな整数では割り切れない.ゆえに$d_m=m$である. %\H\includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-bun4-1.eps} \Shomonbr $f(k)=k^m-k$とおく. $f(1)=1^m-1=0$は$d_m$で割り切れるから \[ f(k)がd_mで割り切れる \cdots \cdots \mruichi \] は$k=1$のときに成り立つ. \[ f(k+1)=(k+1)^m-(k+1) =k^m+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}k^i+1-(k+1) \] \[ \phantom{f(k+1)}=k^m-k+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}k^i =f(k)+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}k^i \] $\Comb{m}{i}\;(1\leq i\leq m-1)$はすべて$d_m$の倍数であるから \[ f(k+1)=f(k)+d_mN_k\quad (N_kは整数) \] の形に書ける. \mruichi が$k=l$で成り立つとすると$f(l)$は$d_m$で割り切れるから\\ $f(l+1)=f(l)+d_mN_l$も$d_m$で割り切れる.$k=l+1$で成り立つから,数学的帰納法により証明された. \Shomonbr $m\geq 2$だから \[ f(d_m-1)=(d_m-1)^m-(d_m-1) \] \[ \H \quad \quad =(d_m)^m+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}(d_m)^i(-1)^{m-i}+(-1)^m-d_m+1 \] $m$は偶数だから \[ f(d_m-1)=f(d_m)+\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}(d_m)^i(-1)^{m-i}+2 \] \[ f(d_m-1)-f(d_m)-\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}(d_m)^i(-1)^{m-i}=2\cdots \cdots \mruni \] ここで$f(d_m-1),\;f(d_m),\;\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}(d_m)^i(-1)^{m-i}\;$はすべて$d_m$の倍数だから\\($d_m=1$の場合は$f(d_m-1)=f(0)=0^m-0=0$は$d_m$の0倍) \[ f(d_m-1)-f(d_m)-\wa{i=1}{m-1}\Comb{m}{i}(d_m)^i(-1)^{m-i}=d_mN \] ($N$は整数)とおけて\mruni より \[ d_mN=2 \Y d_m=1または2 \] \vspace{2mm} \h\bekkai\quad \kakkosanb\quad $d_m\geq 3$であると仮定する. $d_m-1\geq 2$だから\kakkoni より $f(d_m-1)$は$d_m$の倍数である.以下,解答と同様に $f(d_m-1)$を展開し,$d_mN=2$まで同じ.$d_m\geq 3$ だから$d_mN=2$となる整数$N$は存在せず,矛盾.ゆえに $d_m=1または2$である. \lineskip=0pt \lineskiplimit=0pt \RESET \end{document}