北海道大学 後期理系 2008年度 問1

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 後期理系
年度 2008年度
問No 問1
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $2$ 次正方行列 $A, E, O$ を \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}~,~E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}~,~O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] とする.ただし,$a$ は実数とする. \begin{enumerate} \item $AX - XA =O$ となる $2$ 次正方行列に対して,~$X=sE+tA$ となる実数 $s,t$ が存在することを示せ. \item $1$ と異なる数$k$ と $O$ と異なる $2$ 次正方行列 $Y$ が,~$AY-kYA=O$ をみたすとする.このような $k$ と $Y$ をすべて求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \begin{enumerate} \item $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ とおく. \begin{align*} AX-XA &= \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} x+az & y+aw \\ 2z & 2w \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & ax+2y \\ z & az+2w \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} az & a(w-x)-y \\ z & -az \end{pmatrix} \end{align*} より, \[ AX-XA=O \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} az&=&0 \\ a(w-x)-y&=&0 \\ z&=&0 \\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} z&=&0 \\ y&=&a(w-x) \\ \end{array}\right. \] よって \[ X = \begin{pmatrix} x & a(w-x) \\ 0 & w \end{pmatrix} = (2x-w)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+(w-x)\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] と表せるので,$X=sE+tA$ となる実数 $s,t$ が存在することが示された. \item $\displaystyle Y = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ とおく. \begin{align*} AY-kYA &= \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}-k\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} x+az & y+aw \\ 2z & 2w \end{pmatrix} - k\begin{pmatrix} x & ax+2y \\ z & az+2w \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (1-k)x+az & -kax+(1-2k)y+aw \\ (2-k)z & -kaz+(2-2k)w \end{pmatrix} \end{align*} より, \[ AY-kYA=O \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rclr} (1-k)x+az&=&0 &\cdots\MARU{1}\\ -kax+(1-2k)y+aw&=&0 &\cdots\MARU{2}\\ (2-k)z&=&0 &\cdots\MARU{3}\\ -kaz+(2-2k)w&=&0 &\cdots\MARU{4}\\ \end{array}\right. \] よって,~$\MARU{3}$ より,$k=2$ または $z=0$ \begin{enumerate} \item $k=2$ のとき, \[ \MARU{1} より -x+az=0 \Leftrightarrow x=az \cdots\MARU{1}' \] \[ \MARU{4} より -2az-2w=0 \Leftrightarrow w=-az \cdots\MARU{4}' \] \[ \MARU{2},\MARU{1}', \MARU{4}' より -2ax-3y+aw=0 \Leftrightarrow -2a^{2}z-3y +-a^{2}z=0 \Leftrightarrow y=-a^{2}z \] ゆえに,$\mb{k=2}$ であり, \[ \mb{Y = \begin{pmatrix} az & -a^{2}z \\ z & -az \end{pmatrix}} ~~ただし,Y\Noteq O であるから,\mb{z\Noteq 0} \] \item $z=0$ のとき, \[ \MARU{1}とk \Noteq 1 より (1-k)x=0 \Leftrightarrow x=0 \cdots\MARU{1}'' \] \[ \MARU{4}とk \Noteq 1 より (2-2k)w=0 \Leftrightarrow w=0 \cdots\MARU{4}'' \] \[ \MARU{2},\MARU{1}'', \MARU{4}''より (1-2k)y=0 \Leftrightarrow y=0 または k=\dfrac{1}{\,2\,} \] $Y \Noteq O$ であるから,$y=0$ は不適.ゆえに,$\mb{k=\dfrac{1}{\,2\,}}$ であり, \[ \mb{Y = \begin{pmatrix} 0 & y \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} ~~ただし,\mb{y\Noteq 0} \] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}