早稲田大学 教育学部<理科系> 2009年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2009年度
問No 問3
学部 教育学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=138mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{136mm}{$nは1より大きい整数とし,\ \,0<x<\displaystyle \frac{\pi}{4},\ \,0<y<\frac{\pi}{4}\ とする。\\[3mm] \frac{\cos^n x+\cos^n y}{\,(\cos x+\cos y)^n}\ \,と\ \, \frac{\cos^n 2x+\cos^n 2y}{\,(\cos 2x+\cos 2y)^n}\ の大小を判定せよ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[2mm]% \quad \frac{\cos^n x+\cos^n y}{\,(\cos x+\cos y)^n} =\frac{\,\raisebox{2.5mm}{$1+\Bigl(\dfrac{\,\cos y\,}{\cos x}\Bigr)^{\!n}$}} {\,\tabtopsp{0mm}\Bigl(1+\dfrac{\,\cos y\,}{\cos x}\Bigr)^{\!n}}\,であることを考え,\\[2mm] \hspace*{6zw} t=\frac{\,\cos y\,}{\cos x},\ \ f(t)=\frac{1+t^{\,n}} {\,{(1+t)}^n} \ \ (t>0) \\[2mm] とおく。\\[1mm] \makebox[12zw][r]{$\dfrac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}-\dfrac{\,\cos y\,}{\cos x}$} =\frac{\,\cos x\cos 2y-\cos 2x\cos y\,}{\cos 2x\cos x} \\[1.5mm] \hspace*{12zw} =\frac{\,\cos x(2\cos^2 y-1)-(2\cos^2 x-1)\cos y\,} {\cos 2x\cos x} \\[1.5mm]\hspace*{12zw} =\frac{\,(2\cos x\cos y+1)(\cos y-\cos x)\,}{\cos 2x\cos x} \\[1.5mm] \hspace*{12zw} =\frac{\,(2\cos x\cos y+1)(t-1)\cos x\,}{\cos 2x\cos x} \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{3zw}\\[4mm] \makebox[8zw][r]{$f'(t)$}=\frac{\,n\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{1pt}n-1}(1+t)^n -(1+t^{\hspace*{1pt}n})\ten n(1+t)^{n-1}}{(1+t)^{2n}} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =\frac{\,n(1+t)^{n-1}\{t^{\hspace*{1pt}n-1}(1+t) -(1+t^{\hspace*{1pt}n})\}\,}{(1+t)^{2n}} \\[1.5mm]\hspace*{8zw} =\frac{\,n(1+t)^{n-1}(t^{\hspace*{1pt}n-1}-1)\,}{(1+t)^{2n}} \\[1.5mm] \,t>0のもとで,\\ \hspace*{6zw} f'(t)>0 \iff t^{\hspace*{1pt}n-1}>1 \iff t>1 \\ であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline t & (0) & & 1 & & (+\infty) \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline f(t) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{3zw}\\[4mm] (\makebox[2mm][c]{i})\ \ t=\frac{\,\cos y\,}{\cos x}<1のとき \\[2mm] \quad \maru{1}\,および\ 0<x<\frac{\,\pi\,}{4},\ \,0<y<\frac{\,\pi\,}{4}\,より \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}<\frac{\,\cos y\,}{\cos x} \,(\hspace*{.5pt}<1\hspace*{.5pt}) \\[2mm] \quad であり,\ \ \maru{2}よりf(t)は狭義単調減少であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} f\Bigl(\frac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}\Bigr) >f\Bigl(\frac{\,\cos y\,}{\cos x}\Bigr) \\[3mm] (\makebox[2mm][c]{ii})\ \ t=\frac{\,\cos y\,}{\cos x}=1のとき \\[2mm] \quad \maru{1}および\cos x>0,\ \,\cos y>0より \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}=\frac{\,\cos y\,}{\cos x},\ \ f\Bigl( \frac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}\Bigr)=f\Bigl(\frac{\,\cos y\,}{\cos x}\Bigr) \\[3mm] (\makebox[2mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i\hspace*{-.5pt}i})\ \ t=\frac{\cos y} {\,\cos x\,}>1のとき \\[2mm] \quad \maru{1}\,および\ 0<x<\frac{\,\pi\,}{4},\ \,0<y<\frac{\,\pi\,}{4}\,より\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}>\frac{\,\cos y\,}{\cos x}\, (\hspace*{.5pt}>1\hspace*{.5pt}) \\[2mm] \quad であり,\ \ \maru{2}よりf(t)は狭義単調増加であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} f\Bigl(\frac{\,\cos 2y\,}{\cos 2x}\Bigr) >f\Bigl(\frac{\,\cos y\,}{\cos x}\Bigr) \\[3mm] \,0<x<\frac{\,\pi\,}{4},\ \,0<y<\frac{\,\pi\,}{4}\,より\\[1.5mm] \hspace*{6zw} t=\frac{\,\cos y\,}{\cos x}=1 \iff \cos x=\cos y \iff x=y \\[2mm] であるから,以上の議論をまとめると \\[2mm] \hspace*{5zw} \left\{\,\begin{array}{@{}ll} x=yのとき & \dfrac{\cos^n x+\cos^n y}{\,(\cos x+\cos y)^n} =\dfrac{\cos^n 2x+\cos^n 2y}{\,(\cos 2x+\cos 2y)^n} \\[4mm] x\neq yのとき & \dfrac{\cos^n x+\cos^n y}{\,(\cos x+\cos y)^n}<\dfrac{\cos^n 2x+\cos^n 2y} {\,(\cos 2x+\cos 2y)^n} \end{array}\right. \ \ \ (答) \\[5mm] \paalen{注}\ \ x=yのとき \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{\cos^n x+\cos^n y}{\,(\cos x+\cos y)^n}=\frac{\cos^n 2x+\cos^n 2y} {\,(\cos 2x+\cos 2y)^n}=\frac{1}{\,2^{\hspace*{.5pt}n-1}} $ \end{document}