慶應義塾大学 理工学部 2008年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2008年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=156mm \textheight=212mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.7mm\framebox[13mm][c]{\small #1}}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.8zw}\parbox{150mm}{{\LARGE\textbf{A\,2}} $ \\[4mm]% \,(\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,さいころを続けてn回投げるとき,\ \ 6の倍数の目が 奇数回出る確率をp(n)とする。\\[1mm]\qquad たとえば,\ \ p(1)=\dfrac{2}{\,3\,},\ \ p(2)=\kobox{(カ)}\ である。\ \ n\geqq 2のときp(n)とp(n-1)の間に\hspace*{5pt}\\[1.5mm] \qquad はp(n)=\kobox{(キ)}\ という関係式が成り立つ。これよりnを用いてp(n)をあらわすと \\[1.5mm]\qquad\, p(n)=\dfrac{\,\kobox{(ク)}\,}{2}\,である。\\[10mm]% \,(\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,さいころを続けて100回投げるとき,\ \ 1の目が ちょうどk回\ (0\leqq k\leqq 100)\ 出る確率\\[1mm]\qquad は\ {}_{100}\mbox{C}_k\! \times\!\dfrac{\,\kobox{(ケ)}\,}{6^{100}}\,であり,この確率が最大になるのは k=\kobox{(コ)}\ のときである。\\[1.5mm] \qquad\quad 次に,さいころを続けてn回投げるとき,\ \ 1の目がちょうどk回\ (0\hspace* {-1pt}\leqq\hspace*{-1pt}k\hspace*{-1pt}\leqq\hspace*{-1pt}n)\ 出る確\\[1mm] \qquad 率を考える。\ \,nを固定したとき,この確率を最大にするようなkの値が2個存在する た\\[1mm]\qquad めの必要十分条件は,\ \ nを\ \kobox{(サ)}\ で割ったときの余りが\ \kobox{(シ)}\ となることである。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (\makebox[1zw][c]{1})\ \ さいころを1回投げるとき,\ \ 6の約数 \paalen{1,\ 2,\ 3,\ 6}の目が\paalen{奇数回}出る確率は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} p(1)=\frac{4}{\,6\,}=\frac{2}{\,3\,} \\[2mm] \quad\, n\geqq 2のとき,さいころをn回投げて6の目が奇数回出るのは \\ \hspace*{6zw}(\makebox[2mm][c]{i})\ \ n-1回目までに6の約数の目が奇数回 出て,\\ \hspace*{7zw} n回目に4または5の目が出る\\ \hspace*{6zw}(\makebox[2mm][c]{ii})\ \ n-1回目までに6の約数の目が偶数回 出て,\\ \hspace*{7zw} n回目に6の約数の目が出る \\ \quad のいずれかの場合であるから,\\[1.5mm]\makebox[8zw][r] {$p(n)$}=\frac{1}{\,3\,}p(n-1)+\frac{2}{\,3\,}\bigl\{1-p(n-1)\bigr\} \\[1mm] \hspace*{8zw} =\underset{(キ)}{\ansbox{-\hspace*{1pt}\dfrac{1}{\,3\,}p(n-1) +\dfrac{2}{\,3\,}}} \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{8zw}\\ \quad\, n=2のとき \\[-.5mm] \hspace*{6zw} p(2)=-\frac{1}{\,3\,}p(1)+\frac{2}{\,3\,} =-\frac{1}{\,3\,}\times\frac{2}{\,3\,}+\frac{2}{\,3\,} =\ansbox{\dfrac{4}{\,9\,}}\ \raisebox{.5pt}{\scriptsize(カ)} \\[2mm] \quad\, \alpha=-\frac{1}{\,3\,}\alpha+\frac{2}{\,3\,}\,とおくと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,4\,}{3}\alpha=\frac{2}{\,3\,} \hspace*{3zw} \therefore\ \, \alpha=\frac{1}{\,2\,} \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\ \, \frac{1}{\,2\,}=-\frac{1}{\,3\,}\ten\frac{1} {\,2\,}+\frac{2}{\,3\,} \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{8zw}\\[2mm] \quad \maru{1}-\maru{2}\,より \\[1mm] \hspace*{6zw} p(n)-\frac{1}{\,2\,}=-\frac{1}{\,3\,}\Bigl\{p(n-1) -\frac{1}{\,2\,}\Bigr\} \\[2mm] \quad \Bigl\{p(n)-\frac{1}{\,2\,}\Bigr\}\,は初項p(1)-\frac{1}{\,2\,} =\frac{2}{\,3\,}-\frac{1}{\,2\,}=\frac{1}{\,6\,},\ \,公比-\frac{1}{\,3\,} \hspace*{1pt}の等比数列であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} p(n)-\frac{1}{\,2\,}=\frac{1}{\,6\,}\Bigl(-\frac{1}{\,3\,} \Bigr)^{\!n-1}=-\frac{1}{\,2\,}\Bigl(-\frac{1}{\,3\,}\Bigr)^{\!n} \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\ \, p(n)=\frac{1}{\,2\,}\Biggl\{\,\underset{(ク)} {\ansbox{1-\Bigl(-\dfrac{1}{\,3\,}\Bigr)^{\!n}}}\,\Biggr\} \\[5mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ さいころを100回投げるとき,1の目がちょうどk回出る 確率をp_k^{}\,とすると,\displaystyle \\[1mm] \hspace*{6zw} p_k^{}={}_{100}\mbox{C}_k \Bigl(\frac{1}{\,6\,}\Bigr)^{\!k} \Bigl(\frac{5}{\,6\,}\Bigr)^{\!100-k}={}_{100}\mbox{C}_k\times \frac{\ \ansbox{5^{\hspace*{.5pt}100-k}}\ } {6^{100}}^{\!\raisebox{-9pt}{\scriptsize(ケ)}} \\[2mm] \quad\, 0\leqq k\leqq 99のとき \\[-.5mm] \makebox[11zw][r]{$p_{k+1}^{}>p_k^{}$} \iff \frac{\,p_{k+1}^{}\,}{p_k^{}} =\frac{\,100-k\,}{k+1}\ten\frac{1}{\,5\,}>1 \\[1.5mm] \hspace*{11zw} \iff 100-k>5\hspace*{.5pt}(k+1) \\[1.5mm] \hspace*{11zw} \iff k<\frac{\,95\,}{6}=15+\frac{\,5\,}{6} \\[2mm] \quad であるから\\ \hspace*{6zw} p_0^{}<p_1^{}<\cdots<p_{15}^{}<p_{16}^{}>p_{17}^{}>\cdots>p_{100}^{} \\ \quad であり,確率p_k^{}\,が最大になるのは \\[.5mm] \hspace*{8zw} k=\ansbox{\ 16\ }\ \raisebox{.5pt}{\scriptsize(コ)} \\[.5mm] \quad のときである。\\ \qquad さいころをn回投げるとき,\ \ 1の目がちょうどk回出る確率をq_k^{}\,と すると,\\[1.5mm] \hspace*{7zw} q_k^{}={}_n\mbox{C}_k\Bigl(\frac{1}{\,6\,}\Bigr)^{\!k} \Bigl(\frac{5}{\,6\,}\Bigr)^{\!n-k} \\[2mm] \quad\, 0\leqq k\leqq n-1のとき \\ \makebox[11zw][r]{$q_{k+1}^{}>q_k^{}$} \iff \frac{\,q_{k+1}^{}\,}{q_k^{}} =\frac{\,n-k\,}{k+1}\ten\frac{1}{\,5\,}>1 \\[1.5mm] \hspace*{11zw} \iff n-k>5\hspace*{.5pt}(k+1) \\[1.5mm] \hspace*{11zw} \iff k<\frac{\,n-5\,}{6} \\[2mm] \quad ここで,\ \ \frac{\,n-5\,}{6}\,の整数部分をsとすると \\[2mm] \hspace*{6zw} q_0^{}<q_1^{}<\cdots<q_{s-1}^{}<q_s^{}\hspace*{1pt} \raisebox{-1pt}{,}\ \ q_{s+1}^{}>q_{s+2}^{}>\cdots>q_n^{} \\[1mm] \quad であるから,\ \ q_k^{}を最大にするようなkの値が2個存在するための 必要十分条件は,\\[2mm] \hspace*{6zw} \frac{\,n-5\,}{6}\,が整数,すなわち\ nを\ \underset{(サ)} {\ansbox{\ 6\ }}\ で割った余りが\ \underset{(シ)}{\ansbox{\ 5\ }} \\ \quad となることである。$ \end{document}