すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $a$，$b$，$c$，$d$を実数とする．2次の正方行列 $A=\nixni{a}{b}{c}{d}$と2次の単位行列$E$に対して，集合$L(A)$を \[ L(A)=\{rE+sA\mid r\ten s\ \text{は実数}\} \] とする．このとき次の条件（＊）が成立するための， $a$，$b$，$c$，$d$についての必要十分条件を求めよ． \quad （＊）$L(A)$の要素$B$は零行列でなければ逆行列をもつ \end{FRAME} %kai \quad$B=rE+sA\in L(A)$とする． \grec{i} $A$が$E$の実数倍のとき，$a=d$，$b=c=0$であり， $A=kE$ ($k$は実数)と表せて， \[ B=(r+sk)E \] これが$O$でないならば，$r+sk\noteq0$となり$B$は逆行列をもち， （＊）が成り立つ． \grec{ii} $A$が$E$の実数倍でないとき． $B=rE+sA=O$とすると，$s=0$ （実際，$s\noteq0$ならば$A=-\Frac{r}{s}E$となり， $A$が$E$の実数倍になる）だから，$B=rE=O$となり$r=0$．したがって， $(r,\ s)=(0,\ 0)$となるが，逆にこのとき$B=O$だから， \[ B\noteq O\iff (r,\ s)\noteq(0,\ 0) \] また， $B=\nixni{r+sa}{sb}{sc}{r+sd}$ が逆行列をもつための条件は \begin{align} &(r+sa)(r+sd)-sb\cdot sc\noteq0\notag\\ \yue&r^2+(a+d)rs+(ad-bc)s^2\noteq0\Tag{\maru{1}} \end{align} したがって，（＊）は \begin{equation} \text{「すべての$(r,\ s)\noteq (0,\ 0)$に対して\maru{1}が成り立つ」}\tag{$\star$} \end{equation} となるので，これが成り立つ条件を考える． ・$s\noteq0$のとき，\maru{1}の両辺を$s^2$で割ることができて \begin{equation} \left(\Frac{r}{s}\right)^2+(a+d)\left(\Frac{r}{s}\right) +ad-bc\noteq0\Tag{\maru{2}} \end{equation} ここで，$r$はすべての実数を動きえるので，実数$\Frac{r}{s}$もすべての実数をとりえ る．したがって，$(\star)$の条件は，\maru{2}の左辺を$\Frac{r}{s}$の2次式 とみて， \begin{align*} &(\text{判別式})=(a+d)^2-4(ad-bc)<0\\ &\yue (a-d)^2+4bc<0 \end{align*} ・ $s=0$のとき，$\maru{1}: r^2\noteq0$となるので，($\star$)は成り立つ． 以上\grec{i}，\grec{ii}から求める条件は \[ \begin{cases} \,\ans{「a=d かつ b=c=0」}\\ \,\ans{または\enskip (a-d)^2+4bc<0} \end{cases} \] %\betu \chu 1．2003年度でもっとも難しい問題である． 条件（＊）を数式化することを考えよう．まず「$B$が逆行列をもつ」は簡単 で，行列式$\det B\noteq0$である($\abs{B}\noteq0$ともかく)ことで ，\maru{1}のような$r$，$s$の 2次式が0にならないという条件になる．このような2次式は，次数がそろっているので， 2次の同次式(斉次式ともいう)とよばれている．さて，このような2次式は実は本 質的に1変数の2次式である． \quad すこし一般化し，実数係数の実数変数$x$，$y$の2次の同次式 $F(x,\ y)=ax^2+bxy+cy^2$を考える．$y\noteq0$のとき， \[ F(x,\ y)=y^2\left\{a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\cdot\frac{x}{y}+c\right\} \] だから，$F(x,\ y)=0$とは，$\Frac{x}{y}$の2次式$\{\cdots\}$の中身が0にな る，すなわち対応する2次方程式が実数解をもつということになる．$y=0$のときも考 えれば，つぎの命題がわかる． \begin{align*} &\text{「$x=y=0$以外のすべての$(x,\ y)$について$F(x,\ y)\noteq0$」}\\ &\iff b^2-4ac<0 \end{align*} 2．つぎに「$B\noteq O$」は $r$，$s$についてのどのような条件になるかである．まず否定の条件は考えにく いので，$B=O$としてこれを成分で表すとすると， 6文字についての4つの等式の条件を考えることになり，やや面倒である． 行列の扱いはできるだけ行列のままやろうとするのがよい．ここでもそのように 考えることにして，$B=O$すなわち$rE+sA=O$をみると，$s$が0でなければ$A$は $E$の実数倍になる．そこで，$A$が$E$の実数倍になるかどうかで場合を分ける ことになる． 3． 同次式の扱い\--1変数化\-- がポイントであるが，はじめの段階で$s=0$かどう かで場合を分けて， \[ B=rE+sA=s\left(\frac{r}{s}E+A\right)\quad (s\noteq0) \] として，扱う方法もある．$\Frac{r}{s}=t$とおくと，$tE+A$について（＊） と同様な条件を考えればよい． 4．いずれにせよ，難問である．$B\noteq O$の条件をおおざっぱに扱って， 「任意の$(r,\ s)\noteq(0,\ 0)$について，\maru{1}が成り立つ」 として，判別式の条件を出すところまでできれば部分点はとれる． その程度で十分かもしれない．完全に解けた人は相当自信をもってよい． \end{document}