すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 4チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれ ぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて $\Frac{1}{2}$ で，各回の勝敗は独立に決まるものとする． 勝ち数の多い順に順位をつけ，勝ち数が同じであればそれらは同順位とする．1 位のチーム数の期待値を求めよ． \end{FRAME} %kai 総試合数は$\comb{4}{2}=6$であり，これらそれぞれについて独立に勝ち負けが決 まるので，おこりえる試合の結果は全部で$2^6$通りある． 各チームは3試合ずつ行ない，総勝ち数は6である．各チームの勝ち数を$a$，$b$， $c$，$d$ ($a\geqq b\geqq c\geqq d$)とおくと， \[ a+b+c+d=6\ten 3\geqq a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq0 \] また全勝も全敗も2チーム以上はありえないので， \[ (a,\ b,\ c,\ d)=(3,\ 2,\ 1,\ 0)\ten (3,\ 1,\ 1,\ 1)\ten (2,\ 2,\ 2,\ 0)\ten (2,\ 2,\ 1,\ 1) \] このそれぞれについて，勝敗表は次のようになる．\smallskip \qquad\ajKakkoroman{1}\quad \begin{tabular}{c|c|c|c|c} {}&A &B &C &D \\\hline A&{} &○ &○ &○ \\\hline B&× &{} &○ &○ \\\hline C&× &× &{} &○ \\\hline D&× &× &× &{} \end{tabular} \qquad\ajKakkoroman{2}\quad \begin{tabular}{c|c|c|c|c} {}&A &B &C &D \\\hline A&{} &○ &○ &○ \\\hline B&× &{} &○ &× \\\hline C&× &× &{} &○ \\\hline D&× &○ &× &{} \end{tabular}\\ \qquad\ajKakkoroman{3}\ \quad\begin{tabular}{c|c|c|c|c} {}&A &B &C &D \\\hline A&{} &○ &× &○ \\\hline B&× &{} &○ &○ \\\hline C&○ &× &{} &○ \\\hline D&× &× &× &{} \end{tabular} \qquad\ajKakkoroman{4}\quad \begin{tabular}{c|c|c|c|c} {}&A &B &C &D \\\hline A&{} &○ &○ &× \\\hline B&× &{} &○ &○ \\\hline C&× &× &{} &○ \\\hline D&○ &× &× &{} \end{tabular}\smallskip このそれぞれについて，チームの決め方は \ajKakkoroman{1}：$4!=24$通り \ajKakkoroman{2}：$\comb{4}{1}\cdot2=8$通り(B→C→D か B→D→Cか)． \ajKakkoroman{3}：\ajKakkoroman{2}と同様で8通り． \ajKakkoroman{4}：$2^6-(24+8+8)=24$通り． 以上から，求める期待値は \[ 3\cdot\Frac{8}{2^6}+2\cdot\Frac{24}{2^6}+1\cdot\Frac{24+8}{2^6} =\Frac{3}{8}+\Frac{3}{4}+\Frac{1}{2}=\Frac{3+6+4}{8}=\ans{\Frac{13}{8}} \] %\betu \bigskip \chu\ \ajKakkoroman{4}の場合， 上位の2チームの選び方が$\comb{4}{2}$通り，上位の2チームのう ちどちらが他方に勝つかで$\comb{2}{1}$，下位の2チームのうちどちらが他方に 勝つかで$\comb{2}{1}$，つまり $\comb{4}{2}\cdot\comb{2}{1}\cdot\comb{2}{1}=24$通り． \end{document}