すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $p$は3以上の素数であり，$x$，$y$は$0\leqq x\leqq p$，$0\leqq y\leqq p$を みたす整数であるとする．このとき$x^2$を$2p$で割った余りと，$y^2$を$2p$で 割った余りが等しければ，$x=y$であることを示せ． \end{FRAME} %kai \quad $x^2$と$y^2$を$2p$で割った余りが等しいから， $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$が$2p$の倍数であり，$p$は3以上の素数で$p$と2は互 いに素である．したがって，$x+y$，$x-y$の少くと も一方が$p$の倍数で，また少なくとも一方が2の倍数(偶数)となるが， \[ (x+y)-(x-y)=2y=\text{(偶数)} \] により，$x+y$，$x-y$の偶奇は一致するので，結局これらはともに偶数である． ゆえに，$x+y$が$2p$の倍数である，または，$x-y$が$2p$の倍数である． \ajKakkoroman{1}\ $x+y$が$2p$の倍数のとき，仮定から$0\leqq x+y\leqq 2p$ であり，この範囲にある$2p$の倍数は$0$と$2p$だけだから， \[ x+y=0 \text{\ または\ } x+y=2p \] これと$x$，$y$の範囲から，$x=y=0$または$x=y=p$である． \ajKakkoroman{2}\ $x-y$が$2p$の倍数のとき，仮定から$-p\leqq x-y\leqq p$ であり，この範囲にある$2p$の倍数は0だけだから， \[ x-y=0\yuen x=y \] 以上\ajKakkoroman{1}，\ajKakkoroman{2}から，$x=y$が成り立つ． %\betu %\chu \end{document}