北海道大学 前期文系 2008年度 問3

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期文系
年度 2008年度
問No 問3
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
質問です。(2)ですがn=1,n=2のときより、成立するための必要条件としてα+β=k,αβ=1が出ますが、その後の十分性の確認は必要なのでしょうか? 大元の本文の恒等式を☆1、(2)の恒等式を☆2としたとき、☆1かつ☆2より連立した☆3が導かれ、☆3が恒等的に成立するための必要条件としてα+β=k,αβ=1が導かれるわけですから、→の向きの証明としてはこれで良いように思うのです。ご教授下さい。
新宿方面 さん 2013/11/12 01:21:30 報告
2
過去記事を見て自己解決しました。今回の問題は必要性でOKだけど、まぁ念のため書いておくということですね。「恒等式となるようなα、βを求めよ」という表現になると十分性の確認もしなくてはいけないと。日本語はややこしいなぁ…。
新宿方面 さん 2013/11/21 17:23:38 報告
\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{framed} $k$ を実数とし,~$a_{1}=0,~a_{2}=1,~a_{n+2} = k a_{n+1} -a_{n}~(n=1,2,3,\cdots\cdots)$ で数列 $\{a_{n}\}$ を定める. \begin{enumerate} \item $k=2$ のとき,一般項 $a_{n}$ を求めよ. \item すべての $n$ について $a_{n+2} -\beta a_{n+1} =\alpha(a_{n+1} -\beta a_{n})$~を満たす $\alpha ,~\beta$ に対して,~$\alpha +\beta =k,~\alpha\beta =1$ が成り立つことを示せ. \item $(2)$ において,異なる実数 $\alpha$ と $\beta$ が存在するための $k$ の条件を求め,そのときの $\alpha$ と $\beta$ の値を求めよ. \end{enumerate} \end{framed} \begin{enumerate} \item $k=2$ のとき~$a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_{n} \Leftrightarrow a_{n+2} -a_{n+1} = a_{n+1}-a_{n}$~であるから, \[ a_{n+1}-a_{n} = a_{n}-a_{n-1} = \cdots = a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1} =1-0 =1 \] よって,$a_{n+1}-a_{n} =1 \Leftrightarrow a_{n+1} = a_{n}+1$ より,数列 $\{a_{n}\}$ は初項 $a_{1} =0$,~公差 $1$ の等差数列である. したがって~$\mb{a_{n}} = 0+(n-1) \mb{=n-1}$ \vspace{2mm} \item $a_{n+2} -\beta a_{n+1} =\alpha (a_{n+1}-\beta a_{n}) \Leftrightarrow a_{n+2} =(\alpha + \beta) a_{n+1} -\alpha\beta a_{n} \cdots\MARU{1}$ を $a_{n+2} =k a_{n+1} - a_{n}\cdots (*)$ に代入して $a_{n+2}$ を消去すると \[ k a_{n+1} - a_{n} =(\alpha + \beta) a_{n+1}-\alpha\beta a_{n} \Leftrightarrow (\alpha + \beta -k) a_{n+1} = (\alpha\beta-1) a_{n} \cdots\MARU{2} \] ここで,$a_{1}=0,~a_{2}=1$ より $\MARU{2}$ に$n=1$ を代入して,$(\alpha + \beta -k) a_{2} = (\alpha\beta-1) a_{1} より  \alpha + \beta =k$ よって,$\MARU{2} \Leftrightarrow (\alpha\beta-1) a_{n} =0$ $n=2$ を代入すると $a_{2}=1$ より~ $(\alpha\beta-1) a_{2} =0 \Leftrightarrow \alpha\beta =1$ である必要がある. \vspace{1mm} 逆に,$\alpha +\beta =k,~\alpha\beta =1$ のとき,すべての $n$ について \[ a_{n+2}=ka_{n+1}-a_{n} \Leftrightarrow a_{n+2}=(\alpha +\beta) a_{n+1}- \alpha\beta a_{n} \Leftrightarrow a_{n+2}-\beta a_{n+1} =\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n}) \] となるので,$a_{n+2} -\beta a_{n+1} =\alpha (a_{n+1}-\beta a_{n})$ を満たす $\alpha,~\beta$ に対して,~$\alpha +\beta =k,~\alpha\beta =1$ が成り立つことが示された. \vspace{2mm} $(3)$~$\alpha,\beta$ を$2$ 解とする $2$ 次方程式は,解と係数の関係より~$x^2-kx+1 = 0 \cdots\MARU{3}$ これが,異なる $2$ つの実数解をもつとよいから, \[ D= k^{2}-4 >0 \Leftrightarrow \mb{k<-2 ~または~k>2} \] そのときの $\alpha ,\beta$ の値は,~$\MARU{3}$ に解の公式を用いると \[ \mb{(\alpha~,~\beta) = \left(\, \dfrac{\,k+\ssqrt{k^2 -4}\,}{2},~\dfrac{\,k-\ssqrt{k^2 -4}\,}{2}\, \right) ~または~ \left(\, \dfrac{\,k-\ssqrt{k^2 -4}\,}{2},~\dfrac{\,k+\ssqrt{k^2 -4}\,}{2} \,\right)} \] \end{enumerate} \end{document}