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大阪大学 前期理系 1991年度 問4
解答の著作権は解答作成者に帰属します。無断転載、複製を禁止します。
解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 前期理系 |
| 年度 | 1991年度 |
| 問No | 問4 |
| 学部 | 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部 |
| カテゴリ | |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
$f(x)$ は $0 < x < 1$ で定義された正の値をとる微分可能な関数で，\smallskip \\
$\lim\limits_{x \to 1} f'(x) = \infty$ をみたし，\smallskip
さらに曲線 $C : y = f(x)$ は次の性質をもつという．
$C$ 上に任意の点Pをとり，
原点Oと点Pを結ぶ直線と$x$軸のなす角を $\theta$ とするとき，\smallskip
点Pにおける曲線 $C$ の接線と$x$軸のなす角は $2\theta$ である．
ただし，$\theta$ は $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ の範囲にあるものとする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ のみたす微分方程式を求めよ．
\item
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{x}{f(x)}$ とおく．
$g(x)$ のみたす微分方程式を求めよ．
\item
$f(x)$ を求めよ．
\end{enumerate}
\end{FRAME}
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\P(t,\,\,f(t))\,\,\,(0 < t < 1)$ とする．\smallskip
直線OPは$x$軸と $\theta$ の角をなし，
その傾きは $\dfrac{f(t)}{t}$ だから，\\
\begin{minipage}{260pt}%%
\begin{align*}
\tan\theta = \frac{f(t)}{t}
\end{align*}
Pにおける $C$ の接線は$x$軸と $2\theta$ の角をなすから，
\begin{align*}
\tan 2\theta = f'(t)
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
f'(t)
= \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
= \frac{2 \cdot \dfrac{f(t)}{\mathstrut t}}
{\,1 - \left\{\dfrac{f(t)}{t}\right\}^{\!2}\,}
= \frac{2tf(t)}{t^2 - \{f(t)\}^2}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{150pt}
\vspace*{-5zw}\hspace*{-2zw}%
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\begin{picture}( 16.5900, 13.9500)( 9.5000,-19.3500)
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 950 1603 2609 1603
%
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\special{pa 2610 1604}%
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\special{fp}%
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 1198 1935 1198 600
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1198 1936}%
\special{pa 1198 600}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
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\special{fp}%
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% 2 1198 1603 2028 1272
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1198 1604}%
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\special{fp}%
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%
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\special{pn 13}%
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%
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\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1550 1175 1550 1240 2 0
% {\scriptsize$\P(t,\,f(t))$}
\put(15.5000,-12.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$\P(t,\,f(t))$}}}%
% STR 2 0 3 0
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\put(14.3000,-15.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$\theta$}}}%
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% $y$
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\put(25.1000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}%
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\put(21.5000,-7.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$C$}}}%
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% {\footnotesize 1}
\put(23.7000,-17.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\vskip 0.5zw
\noindent%
$t$ を $x$ にとり換えて，
$f(x)$ のみたす微分方程式は，
\begin{align*}
\textcolor{red}{\boldsymbol{
f'(x)
= \frac{2xf(x)}{x^2 - \{f(x)\}^2}
}}
\tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{1}$}
\end{align*}
\item
$f(x) = f$ のように略記する．\smallskip
$g = \dfrac{f}{x} + \dfrac{x}{f}$ の両辺を微分して，
\begin{align*}
g'
= \frac{xf' - f}{x^2} + \frac{f - xf'}{f^2}
= \frac{-x(x^2 - f^2)f' + (x^2 - f^2)f}{x^2f^2}
\tag*{$\cdots\cdotssp\MARU{2}$}
\end{align*}
\MARU{1}より $(x^2 - f^2)f' = 2xf$ として\MARU{2}に代入すれば，
\begin{align*}
g'
&= \frac{-2x^2f + (x^2f - f^2)f}{x^2f^2}
= -\frac{x^2f + f^3}{x^2f^2}
= -\frac{1}{x}\!\left(\frac{f}{x} + \frac{x}{f} \right) \\[1mm]
&= -\frac{g}{x}
\end{align*}
ゆえに $g(x)$ のみたす微分方程式は，
\begin{align*}
\textcolor{red}{\boldsymbol{
g'(x) = -\frac{g(x)}{x}
}}
\tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{3}$}
\end{align*}
\item
$g(x) > 0\,\,\,(\,\because\,\,\,f(x) > 0)$ より\MARU{3}から，
\begin{gather*}
\frac{g'(x)}{g(x)} = -\frac{1}{x} \\[1mm]
\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = -\int \frac{1}{x}\,dx \\[1mm]
\log g(x) = -\log x + A = \log\frac{1}{x} + A \quad(Aは定数) \\
\therefore \,\,\,
g(x) = \frac{B}{x} \quad(ただし，\,\,\,B = e^A > 0)
\end{gather*}
ゆえに
\begin{align*}
\frac{B}{x} = \frac{f}{x} + \frac{x}{f} \qquad
\therefore \,\,\,
f^2 - Bf + x^2 = 0
\tag*{$\cdott\MARU{4}$}
\end{align*}
$f(x)$ は\MARU{4}の実数解だから，
$0 < x < 1$ においてつねに $(判別式) = B^2 - 4x^2 \geqq 0$ で
なければならない．
よって，
\begin{align*}
B^2 - 4 \geqq 0 \qquad
\therefore \,\,\,
B \geqq 2 \quad(\,\because\,\,\,B > 0)
\tag*{$\cdott\MARU{5}$}
\end{align*}
が必要．\MARU{5}のもとで，
\begin{align*}
f(x) = \frac{B \pm \sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}}{2} \quad
(\,\because \,\,\,f(x) > 0)
\end{align*}
ただし，$f(x)$ は連続だから$(\,\because\,\,\,f(x)は微分可能)$，
複号はどちらか一方に決まる．
\begin{align*}
f'(x)
= \pm\frac{-8x}{4\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}}
= \mp \frac{2x}{\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}}
\end{align*}
$\lim\limits_{x \to 1} f'(x) = \infty$ より $f'(x)$ の
複号は$+$に，$f(x)$ の複号は$-$に確定する．\smallskip
したがって $f'(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}}$ となり，
\begin{align*}
\lim_{x \to 1}\frac{1}{f'(x)}
= \frac{\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4}}{2}
= 0 \qquad
\therefore \,\,\,
B = 2
\end{align*}
これは\MARU{5}をみたすから，
\begin{align*}
f(x)
= \frac{2 - \sqrt{\vphantom{b} 4 - 4x^2}}{2}
= \textcolor{red}{\boldsymbol{1 - \sqrt{\vphantom{b} 1 - x^2}}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{document}
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