大阪大学 前期理系 1991年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1991年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $f(x)$ は $0 < x < 1$ で定義された正の値をとる微分可能な関数で,\smallskip \\ $\lim\limits_{x \to 1} f'(x) = \infty$ をみたし,\smallskip さらに曲線 $C : y = f(x)$ は次の性質をもつという. $C$ 上に任意の点Pをとり, 原点Oと点Pを結ぶ直線と$x$軸のなす角を $\theta$ とするとき,\smallskip 点Pにおける曲線 $C$ の接線と$x$軸のなす角は $2\theta$ である. ただし,$\theta$ は $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ の範囲にあるものとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x)$ のみたす微分方程式を求めよ. \item  $g(x) = \dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{x}{f(x)}$ とおく. $g(x)$ のみたす微分方程式を求めよ. \item  $f(x)$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\P(t,\,\,f(t))\,\,\,(0 < t < 1)$ とする.\smallskip  直線OPは$x$軸と $\theta$ の角をなし, その傾きは $\dfrac{f(t)}{t}$ だから,\\ \begin{minipage}{260pt}%% \begin{align*} \tan\theta = \frac{f(t)}{t} \end{align*} Pにおける $C$ の接線は$x$軸と $2\theta$ の角をなすから, \begin{align*} \tan 2\theta = f'(t) \end{align*} したがって, \begin{align*} f'(t) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{2 \cdot \dfrac{f(t)}{\mathstrut t}} {\,1 - \left\{\dfrac{f(t)}{t}\right\}^{\!2}\,} = \frac{2tf(t)}{t^2 - \{f(t)\}^2} \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \vspace*{-5zw}\hspace*{-2zw}% %\input{osaka91s4f_zu_2} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 16.5900, 13.9500)( 9.5000,-19.3500) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 950 1603 2609 1603 % \special{pn 8}% \special{pa 950 1604}% \special{pa 2610 1604}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2610 1604}% \special{pa 2542 1584}% \special{pa 2556 1604}% \special{pa 2542 1624}% \special{pa 2610 1604}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1198 1935 1198 600 % \special{pn 8}% \special{pa 1198 1936}% \special{pa 1198 600}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1198 600}% \special{pa 1178 668}% \special{pa 1198 654}% \special{pa 1218 668}% \special{pa 1198 600}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1198 1603 2028 1272 % \special{pn 8}% \special{pa 1198 1604}% \special{pa 2028 1272}% \special{fp}% % LINE 2 2 3 0 % 2 2343 1935 2343 600 % \special{pn 8}% \special{pa 2344 1936}% \special{pa 2344 600}% \special{dt 0.045}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 1626 555 2298 1450 1713 1857 2820 767 % \special{pn 13}% \special{ar 1626 556 672 896 0.1323870 1.4820728}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2028 1272 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2028 1272 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1332 1935 2510 816 % \special{pn 8}% \special{pa 1332 1936}% \special{pa 2510 816}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1550 1175 1550 1240 2 0 % {\scriptsize$\P(t,\,f(t))$} \put(15.5000,-12.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$\P(t,\,f(t))$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1430 1490 1430 1590 2 0 % {\scriptsize$\theta$} \put(14.3000,-15.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$\theta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1810 1470 1810 1570 2 0 % {\scriptsize$2\theta$} \put(18.1000,-15.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$2\theta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1070 1630 1070 1730 2 0 % {\small O} \put(10.7000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\small O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1070 610 1070 710 2 0 % $y$ \put(10.7000,-7.1000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2510 1630 2510 1730 2 0 % $x$ \put(25.1000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2150 660 2150 760 2 0 % {\scriptsize$C$} \put(21.5000,-7.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$C$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2450 920 2450 1020 2 0 % {\scriptsize 接線} \put(24.5000,-10.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 接線}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2370 1640 2370 1740 2 0 % {\footnotesize 1} \put(23.7000,-17.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}% \end{picture}% \end{minipage} \vskip 0.5zw \noindent% $t$ を $x$ にとり換えて, $f(x)$ のみたす微分方程式は, \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{ f'(x) = \frac{2xf(x)}{x^2 - \{f(x)\}^2} }} \tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{1}$} \end{align*} \item  $f(x) = f$ のように略記する.\smallskip  $g = \dfrac{f}{x} + \dfrac{x}{f}$ の両辺を微分して, \begin{align*} g' = \frac{xf' - f}{x^2} + \frac{f - xf'}{f^2} = \frac{-x(x^2 - f^2)f' + (x^2 - f^2)f}{x^2f^2} \tag*{$\cdots\cdotssp\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{1}より $(x^2 - f^2)f' = 2xf$ として\MARU{2}に代入すれば, \begin{align*} g' &= \frac{-2x^2f + (x^2f - f^2)f}{x^2f^2} = -\frac{x^2f + f^3}{x^2f^2} = -\frac{1}{x}\!\left(\frac{f}{x} + \frac{x}{f} \right) \\[1mm] &= -\frac{g}{x} \end{align*} ゆえに $g(x)$ のみたす微分方程式は, \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{ g'(x) = -\frac{g(x)}{x} }} \tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{3}$} \end{align*} \item  $g(x) > 0\,\,\,(\,\because\,\,\,f(x) > 0)$ より\MARU{3}から, \begin{gather*} \frac{g'(x)}{g(x)} = -\frac{1}{x} \\[1mm] \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = -\int \frac{1}{x}\,dx \\[1mm] \log g(x) = -\log x + A = \log\frac{1}{x} + A \quad(Aは定数) \\ \therefore \,\,\, g(x) = \frac{B}{x} \quad(ただし,\,\,\,B = e^A > 0) \end{gather*} ゆえに \begin{align*} \frac{B}{x} = \frac{f}{x} + \frac{x}{f} \qquad \therefore \,\,\, f^2 - Bf + x^2 = 0 \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} $f(x)$ は\MARU{4}の実数解だから, $0 < x < 1$ においてつねに $(判別式) = B^2 - 4x^2 \geqq 0$ で なければならない. よって, \begin{align*} B^2 - 4 \geqq 0 \qquad \therefore \,\,\, B \geqq 2 \quad(\,\because\,\,\,B > 0) \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \end{align*} が必要.\MARU{5}のもとで, \begin{align*} f(x) = \frac{B \pm \sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}}{2} \quad (\,\because \,\,\,f(x) > 0) \end{align*} ただし,$f(x)$ は連続だから$(\,\because\,\,\,f(x)は微分可能)$, 複号はどちらか一方に決まる. \begin{align*} f'(x) = \pm\frac{-8x}{4\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}} = \mp \frac{2x}{\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}} \end{align*} $\lim\limits_{x \to 1} f'(x) = \infty$ より $f'(x)$ の 複号は$+$に,$f(x)$ の複号は$-$に確定する.\smallskip したがって $f'(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4x^2}}$ となり, \begin{align*} \lim_{x \to 1}\frac{1}{f'(x)} = \frac{\sqrt{\vphantom{b} B^2 - 4}}{2} = 0 \qquad \therefore \,\,\, B = 2 \end{align*} これは\MARU{5}をみたすから, \begin{align*} f(x) = \frac{2 - \sqrt{\vphantom{b} 4 - 4x^2}}{2} = \textcolor{red}{\boldsymbol{1 - \sqrt{\vphantom{b} 1 - x^2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}