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大阪大学 前期理系 1989年度 問4
解答の著作権は解答作成者に帰属します。無断転載、複製を禁止します。
解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 前期理系 |
| 年度 | 1989年度 |
| 問No | 問4 |
| 学部 | 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部 |
| カテゴリ | 微分法の応用 ・ 積分法の応用 |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
$a$ は正の定数とする．
$t > 1$ に対し，
曲線 $y = x^a\log x$ 上の \\
点 $\P = (t,\,\,t^a\log t)$ における接線が，
$x$軸と交わる点をQとし，
点$(t,\,\,0)$をRとする．
三角形PQRの面積を $S_1(t)$，
曲線 $y = x^a\log x$ の $x \geqq 1$ の部分と，
2つの直線 $y = 0,\,\,\,x = t$ とで囲まれる部分の面積を $S_2(t)$ とする．
\smallskip
$\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ の値を求めよ．
\end{FRAME}
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}}
\vskip 2mm
$(x^a\log x)^\prime = ax^{a-1}\log x + x^a \cdot \dfrac{1}{x}
= x^{a-1}(a + a\log x)$ より，\smallskip%
Pにおける $y = x^a\log x$ の接線は，\\
\begin{minipage}{240pt}
\begin{gather*}
y
= t^{a-1}(1 + a\log t)(x - t) + t^a\log t
\end{gather*}
よってQの$x$座標は，
\begin{gather*}
t^{a-1}(1 + a\log t)(x - t) + t^a\log t
= 0 \\
\therefore \,\,\,
x = t - \frac{t\log t}{1 + a\log t}\,\,(< t) \quad
(\,\because\,\,\,t > 1)
\end{gather*}
したがって，
\end{minipage}
\begin{minipage}{120pt}
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\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 20.4700, 13.5800)( 4.7000,-17.5800)
% STR 2 0 3 0
% 3 843 390 843 400 4 2800
% $y$
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% STR 2 0 3 0
% 3 2520 1408 2520 1420 4 2600
% $x$
\put(25.2000,-14.2000){\makebox(0,0)[rt]{$x$}}%
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 902 1758 902 400
%
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\special{sh 1}%
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\special{pa 922 468}%
\special{pa 902 400}%
\special{fp}%
% FUNC 2 0 3 0
% 9 470 400 2517 1758 909 1387 1786 1387 909 1264 470 400 2517 1758 0 3 0 0
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\special{pa 2186 412}%
\special{pa 2188 400}%
\special{sp}%
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 738 1387 2509 1387
%
\special{pn 8}%
\special{pa 738 1388}%
\special{pa 2510 1388}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 2510 1388}%
\special{pa 2442 1368}%
\special{pa 2456 1388}%
\special{pa 2442 1408}%
\special{pa 2510 1388}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1753 1758 2200 400
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1754 1758}%
\special{pa 2200 400}%
\special{fp}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 2103 683
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 2104 684 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2103 1387 2103 683
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2104 1388}%
\special{pa 2104 684}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1715 1266 1715 1357 2 0
% {\footnotesize 1}
\put(17.1500,-13.5700){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2150 670 2150 760 2 0
% {\footnotesize P}
\put(21.5000,-7.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2067 1419 2067 1510 2 0
% {\footnotesize R}
\put(20.6700,-15.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize R}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1880 1440 1880 1530 2 0
% {\footnotesize Q}
\put(18.8000,-15.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Q}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1011 842 1011 932 2 0
% {\scriptsize$y=x^a\log x$}
\put(10.1100,-9.3200){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$y=x^a\log x$}}}%
% CIRCLE 3 0 3 0
% 4 1824 1212 1995 1862 659 788 587 2006
%
\special{pn 4}%
\special{ar 1824 1212 672 672 2.5709501 3.4906393}%
% STR 2 0 3 0
% 3 780 1425 780 1520 2 0
% {\footnotesize O}
\put(7.8000,-15.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\begin{align*}
S_1(t)
&= \frac{1}{2}
\left\{t - \left(t - \frac{t\log t}{1 + a\log t} \right) \right\}
\cdot t^a\log t \\[1mm]
&= \frac{t^{a+1}(\log t)^2}{2(1 + a\log t)}
\tag*{$\cdott\MARU{1}$}
\end{align*}
また，
\begin{align*}
S_2(t)
&= \int_1^t x^a\log x\,dx
= \int_1^t \left(\frac{x^{a+1}}{a+1} \right)^{\!\! \prime}
\log x\,dx \\[1mm]
&= \lll \frac{x^{a+1}}{a+1}\log x \rrr_1^t
- \frac{1}{a+1}\int_1^t x^a\,dx \\[1mm]
&= \frac{t^{a+1}\log t}{a + 1}
- \frac{t^{a+1} - 1}{(a + 1)^2}
\tag*{$\cdott\MARU{2}$}
\end{align*}
\MARU{1},\,\,\MARU{2}より，
\begin{align*}
\frac{S_2(t)}{S_1(t)}
&= \frac{t^{a+1}\log t}{a + 1} \cdot
\frac{2(1 + a\log t)}{t^{a+1}(\log t)^2}
- \frac{t^{a+1} - 1}{(a + 1)^2} \cdot
\frac{2(1 + a\log t)}{t^{a+1}(\log t)^2} \\[1mm]
&= \frac{2}{a + 1}\!
\left(\frac{1}{\log t} + a \right)
- \frac{2}{(a + 1)^2}\!
\left(1 - \frac{1}{t^{a+1}} \right)\!
\left\{\frac{1}{(\log t)^2} + \frac{a}{\log t} \right\}
\end{align*}
$\lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{1}{\log t} = 0$ より，
\begin{align*}
\lim_{t \to \infty} \frac{S_2(t)}{S_1(t)}
= \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{2a}{a + 1}}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\end{document}
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