大阪大学 前期理系 1989年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1989年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  1次変換 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a-2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $f$ と表す.\smallskip 原点を通る直線 $l$ の $f$ による像を $f(l)$ とし, $l$ と $f(l)$ とが直交するとき, $l$ は``性質Pをもつ''ということにする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ がどのような範囲にあるとき, 性質Pをもつ $l$ が存在するか. \item  $a$ がどのような値のとき,\smallskip 性質Pをもつ $l$ が2本存在して, それらのなす角が$\dfrac{\pi}{3}$になるか. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $F = \begin{pmatrix} a & a-2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ とおく.\smallskip $\det F = a - (a - 2) = 2 \neq 0$ だから, $f$ は$xy$平面を$xy$平面全体に1対1にうつす. 特に原点以外の点は原点以外の点にうつる.\smallskip  $l$ 上の動点を\smallskip$\X(\vecx)$ (ただし,$\vecx$ はXの位置ベクトル. 以下同様に記す), 方向ベクトルを $\vecv = (u,\,\,v),\,\,\, \vecv \neq \veco$ とすれば, \begin{align*} \vecx = t\vecv \quad(tは実数) \end{align*} と書ける. よって, $f$ によるQの像$\Y(\vecy)$は, \begin{align*} \vecy = f(\vecx) = tF\vecv \end{align*} $F\vecv \neq \veco$ だから $f(l)$ は原点を通り,\smallskip 方向ベクトル $F\vecv$ をもつ直線である. したがって, $l\,\bot\,f(l) \iff \vecv\,\bot\,F\vecv$. \begin{align*} F\vecv = \begin{pmatrix} a & a-2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} au + (a-2)v \\ u + v \end{pmatrix} \end{align*} より \begin{align*} \vecv\,\bot\,F\vecv \,\,\, &\Longleftrightarrow \,\,\, (u,\,\,v) \cdot (au + (a-2)v,\,\,u + v) = 0 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, u\{au + (a-2)v\} + v(u + v) = 0 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, au^2 + (a-1)uv + v^2 = 0 \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} \MARU{1}をみたす $(u,\,\,v) \neq (0,\,\,0)$ が存在するような $a$ の範囲を求めればよい.  もし $u = 0$ であれば,\smallskip \MARU{1}をみたす $u,\,\,v$ は $u = v = 0$ のみ となり不適. よって $u \neq 0$ を得る. \MARU{1}の両辺を $u^2$ で割り, $\lambda = \dfrac{v}{u}$ とおけば, \begin{align*} \lambda^2 + (a - 1)\lambda + a = 0 \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{2}が0と異なる解 $\alpha$ をもてば,\smallskip $\dfrac{v}{u} = \alpha$ より $\vecv = (u,\,\,\alpha u) = u(1,\,\,\alpha) \neq \veco$ を得る. ゆえに \begin{align*} \MARU{2}が少なくとも1つ0と異なる実数解をもつ \tag*{$\cdott{\color[named]{Emerald}\clubsuit}$} \end{align*} ような $a$ の範囲を求めればよい. \MARU{2}が重解0をもつならば $a - 1 = a^2 = 0$ であるが, これをみたす $a$ は存在しない. よって\MARU{2}が重解0をもつことはないから, \begin{align*} {\color[named]{Emerald}\clubsuit} \,\,\, &\Longleftrightarrow \,\,\, \MARU{2}が実数解をもつ \displaybreak[0] \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, (判別式) = (a - 1)^2 - 4a = a^2 - 6a + 1 \geqq 0 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, \textcolor{red}{\boldsymbol{ a \leqq 3 - 2\sqrt{\vphantom{b} 2}\,\,\, または\,\,\, a \geqq 3 + 2\sqrt{\vphantom{b} 2} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  \MARU{2}が重解 $\alpha$ をもてば, $l$ の方向ベクトルは $\vecv = u(1,\,\,\alpha)$ のみとなり不適. よって \begin{align*} a < 3 - 2\sqrt{\vphantom{b} 2}\,\,\,または\,\,\, a > 3 + 2\sqrt{\vphantom{b} 2} \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} が必要.\smallskip このとき\MARU{2}の相異なる2解を $\alpha,\,\,\beta$ とすれば, \[ \vecv = u(1,\,\,\alpha)\,\,\,または\,\,\,u(1,\,\,\beta) \] $l$ の方向ベクトルを, $\bekutoru{$v_1$} = (1,\,\,\alpha)$ または % $\bekutoru{$v_2$} = (1,\,\,\beta)$ にあらためる. \begin{align*} \bekutoru{$v_1$}\,と\,\bekutoru{$v_2$}\,が\, \frac{\pi}{3}\,の角をなす \tag*{$\cdott$\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} \end{align*} ような $a$ の値を求めればよい. \begin{align*} \mbox{\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} \,\,\, &\Longleftrightarrow \,\,\, \cos\frac{\pi}{3} = \frac{\bekutoru{$v_1$} \cdot \bekutoru{$v_2$}} {\zettaiti{\bekutoru{$v_1$}} \zettaiti{\bekutoru{$v_2$}}} = \frac{\alpha\beta + 1} {\sqrt{\vphantom{b} (\alpha^2 + 1)(\beta^2 + 1)}} \\[1mm] &\Longleftrightarrow \,\,\, 4(\alpha\beta + 1)^2 = (\alpha^2 + 1)(\beta^2 + 1) \end{align*} \MARU{2}に解と係数の関係を用いれば, $\alpha + \beta = -(a - 1),\,\,\,\alpha\beta = a$ だから, \begin{align*} 4(\alpha\beta + 1)^2 = 4(a + 1)^2 = 4a^2 + 8a + 4 \end{align*} \vspace{-8mm} \begin{align*} (\alpha^2 + 1)(\beta^2 + 1) &= \alpha^2\beta^2 + \alpha^2 + \beta^2 + 1 \\ &= a^2 + (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta + 1 \\ &= a^2 + (a - 1)^2 - 2a + 1 \\ &= 2a^2 - 4a + 2 \end{align*} ゆえに \begin{align*} \mbox{\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} \,\,\, &\Longleftrightarrow \,\,\, 4a^2 + 8a + 4 = 2a^2 - 4a + 2 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, a^2 + 6a^2 + 1 = 0 \\ &\Longleftrightarrow \,\,\, a = \textcolor{red}{\boldsymbol{-3 \pm 2\sqrt{\vphantom{b} 2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} これは\MARU{3}の範囲にある. \end{enumerate} \end{document}