京都大学 前期理系 1996年度 問6

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問6
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad ガソリンを $x$ kg 積んだ状態で時速 $v$ km で走るとき, 毎時 $\Frac{100+x}{100} e^{kv}$ kg のガソリンを消費する 車がある.ここで $k$ は正の定数である.この車を用いて 100 km 離れた地点へ一定速度で行くとき,ガソリンの消費量 を最小にするには,最初に積むガソリンの量と走行速度をどの ようにすればよいか.ただし,ガソリンがなくなれば車は直ち に停止するものとする. \end{FRAME} %kai \quad 時刻$t=0$に一定速度$v$で出発して,時刻$t$のときのガソリン量が$x=x(t)$ (kg)とする. このときガソリンの消費速度が$\Frac{100+x}{100} e^{kv}$だから, \[ \Frac{dx}{dt}=-\Frac{100+x}{100} e^{kv} \yuen \Frac{1}{100+x}\Frac{dx}{dt}=-\Frac{1}{100}e^{kv} \] \[ \yuen \log(100+x)=-\Frac{1}{100}e^{kv}t+C \smallskip \] $t=0$のときのガソリンの量を$x_0=x(0)$とすると \[ \log(100+x_0)=C \yuen \log\Frac{100+x}{100+x_0}=-\Frac{1}{100}e^{kv}t \] 100km進んだときの時刻は$t=\Frac{100}{v}$だから,そのときのガソリン量を $x=x_1$とすると \[ \log\Frac{100+x_1}{100+x_0}=-\Frac{1}{100}e^{kv}\cdot\Frac{100}{v}=-\Frac{e^{kv}}{v} \] \begin{equation} \yuen 100+x_1=(100+x_0)\exp(-e^{kv}/v)\Tag{\maru{1}} \end{equation} ($e^x$のことを$\exp(x)$ともかく:$\exp(x)=e^x$)\\ ガソリンの消費量は \[ x_0-x_1=(100+x_0)-(100+x_1)=(100+x_0)(1-\exp(-e^{kv}/v)) \] まず,ガソリンが途中で0にならないための条件は$x_1\geqq0$だから,\maru{1} により \begin{equation} (100+x_0)\exp(-e^{kv}/v)\geqq100\yuen 100+x_0\geqq100\exp(e^{kv}/v)\Tag{\maru{2}} \end{equation} したがって,まず$v$を固定したときの$x_0-x_1$の最小値は \[ x_0-x_1=100\exp(e^{kv}/v)(1-\exp(-e^{kv}/v))=100(\exp(e^{kv}/v)-1) \] であり,次に$v\ (>0)$を変化させたときの最小値を求める. $f(v)=\exp(e^{kv}/v)$とおくと, \[ \log f(v)=e^{kv}/v \yuen \Frac{f'(v)}{f(v)}=\Frac{e^{kv}(kv-1)}{v^2} \] だから,$f'(v)$は$v=1/k$の前後で符号を負から正に符号を変えるので, このとき$f(v)$は最小値$f(1/k)=\exp(ke)$ををとる. ゆえに,求めるガソリンの量は \maru{2}から \[ x_0=100f(1/k)-100=\ans{100(e^{ke}-1)} \text{(kg)} \] であり,走行速度は$v=\ans{\Frac{1}{k}}$ (kg) である. %\betu %\chu \end{document}