大阪大学 前期理系 1992年度 問2

問題へ戻る

解答作成者: 森 宏征

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1992年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $xyz$空間において, $x$軸を $l$ とし, 2点$(1,\,\,1,\,\,0)$と$(0,\,\,0,\,\,1)$を通る直線を $m$ とする. 点$\P(1-t,\,\,{-t},\,\,1-t)$を通り, 2直線 $l$ と $m$ の両方に交わる直線 $n$ が存在するための $t$ についての条件を求めよ. また,直線 $n$ の方程式を求めよ. \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \vskip 2mm 題意の直線 $n$ が存在するのは, 次の場合である. \begin{align*} m上の点\Q で 直線\P\Q がlと交わるものがある \tag*{$\cdott$\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} \end{align*} {\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} と同値な $t$ の条件を求めればよい. また, このときの直線PQが $n$ である. $m$ はベクトル $(1,\,\,1,\,\,0) - (0,\,\,0,\,\,1) = (1,\,\,1,\,\,-1)$ に 平行だから,実数 $u$ を用いて, \begin{align*} \OQ = (0,\,\,0,\,\,1) + u(1,\,\,1,\,\,-1) = (u,\,\,u,\,\,-u + 1) \end{align*} と書ける. $\PQ = (t + u - 1,\,\,t + u,\,\,t - u)$ より, 直線PQのパラメータ $s$ による表示式は, \begin{align*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - t \\ -t \\ 1 - t \end{pmatrix} + s\!\begin{pmatrix} t + u - 1 \\ t + u \\ t - u \end{pmatrix} \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} \MARU{1}と $l$ が交わることは, $s$ の連立方程式 \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{lr} \smallskip -t + (t + u)s = 0 & \hspace*{16.5zw}\cdott\MARU{2} \\ 1 - t + (t - u)s = 0 & \cdott\MARU{3} \end{array} \right. \end{gather*} が解をもつことと同値.したがって, \begin{align*} \mbox{\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \{\MARU{2}かつ\MARU{3}\}をみたす実数s,\,\,uが存在する \end{align*} $\MARU{2} + \MARU{3}$より \begin{align*} 1 - 2t + 2ts = 0 \end{align*} よって $t \neq 0$ ならば $s$ は存在し, \begin{align*} s = \frac{2t - 1}{2t} \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} \MARU{4}を\MARU{2}に代入して, \begin{gather*} {-t} + (t + u) \cdot \frac{2t - 1}{2t} = 0 \\ -2t^2 + (2t - 1)(t + u) = 0 \\ \therefore \,\,\, (2t - 1)u - t = 0 \end{gather*} よって $t \neq \dfrac{1}{2}$ ならば $u$ は存在し, \begin{align*} u = \frac{t}{2t - 1} \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \end{align*} 以上より, \begin{align*} \mbox{\color[named]{RubineRed}\ding{"AA}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \textcolor{red}{\boldsymbol{ t \neq 0\,\,\,かつ\,\,\,t \neq \frac{1}{2} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \MARU{5}より \begin{gather*} t + u = t + \frac{t}{2t - 1} = \frac{2t^2}{2t - 1},\quad t - u = t - \frac{t}{2t - 1} = \frac{2t^2 - 2t}{2t - 1} \\[1mm] \therefore \,\,\, \begin{pmatrix} t+u-1 \\ t+u \\ t-u \end{pmatrix} = \frac{1}{2t-1}\! \begin{pmatrix} 2t^2 - 2t + 1 \\ 2t^2 \\ 2t^2 - 2t \end{pmatrix} \end{gather*} $\lambda = \dfrac{s}{2t - 1}$ とおく. \MARU{1}より $n$ のパラメータ $\lambda$ を用いた表示式は, \begin{align*} \textcolor{red}{ \boldsymbol{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - t \\ -t \\ 1 - t \end{pmatrix} + \lambda\!\begin{pmatrix} 2t^2 - 2t + 1 \\ 2t^2 \\ 2t^2 - 2t \end{pmatrix} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{document}