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大阪大学 前期理系 1986年度 問2
解答の著作権は解答作成者に帰属します。無断転載、複製を禁止します。
解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 前期理系 |
| 年度 | 1986年度 |
| 問No | 問2 |
| 学部 | 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部 |
| カテゴリ | 図形と方程式 |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
$xy$平面内の曲線 \smallskip$C : y = \dfrac{1}{x},\,\,\,x > 0$ 上の
相異なる2点 \smallskip\\
$\P\!\left(a,\,\,\dfrac{1}{a} \right),\,\,
\Q\!\left(b,\,\,\dfrac{1}{b} \right)\,\,\,
(ただし，\,\,\,0 < a < b)$に対し，
$\R\!\left(b,\,\,\dfrac{1}{a} \right)$とおく．\smallskip
いま，点P，Qが，\smallskip
$\triangle\P\Q\R$と$\triangle\O\P\Q$の面積の比が一定値 $k$，
すなわち $\dfrac{\triangle\P\Q\R}{\triangle\O\P\Q} = k$ であるように
曲線 $C$ 上を動くとき，\smallskip
点P，Qにおける曲線 $C$ の接線の交点Sの軌跡を求めよ．
ただし，Oは原点である．
\end{FRAME}
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \\
\begin{minipage}{240pt}
\begin{align*}
\triangle\P\Q\R
&= \frac{1}{2}(b - a)\!\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \\[1mm]
&= \frac{(b - a)^2}{2ab} \\[1mm]
\triangle\O\P\Q
&= \frac{1}{2}\zettaiti{a \cdot \dfrac{1}{b} - b \cdot \dfrac{1}{a}}
\\[1mm]
&= \frac{1}{2}\!\left(\frac{b}{a} - \frac{a}{b} \right)
\quad(\,\because\,\,\,0 < a < b) \\[1mm]
&= \frac{(b - a)(b + a)}{2ab}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{100pt}
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% $x$
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\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 569 1528 2250 1748
%
\special{pn 8}%
\special{pa 570 1528}%
\special{pa 2250 1748}%
\special{fp}%
% CIRCLE 3 0 3 0
% 4 1365 1767 1365 2156 601 1366 458 2097
%
\special{pn 4}%
\special{ar 1366 1768 390 390 2.7926446 3.6249370}%
% STR 2 0 3 0
% 3 980 1946 980 2010 2 0
% {\footnotesize S}
\put(9.8000,-20.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize S}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 570 1869 570 1950 2 0
% {\footnotesize O}
\put(5.7000,-19.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\vskip 0.5zw
\smallskip
\noindent%
$\dfrac{\triangle\P\Q\R}{\triangle\O\P\Q} = k$ より
\begin{align*}
\frac{(b - a)^2}{2ab} \cdot \frac{2ab}{(b-a)(b+a)} = k \qquad
\therefore \,\,\,
\frac{b - a}{b + a} = k
\end{align*}
よって $0 < k < 1$ であり，
\begin{align*}
b = \frac{1 + k}{1 - k}a
\tag*{$\cdott\MARU{1}$}
\end{align*}
を得る．
$\left(\dfrac{1}{x} \right)^{\!\! \prime} = -\dfrac{1}{x^2}$ %
よりPにおける $C$ の接線は，
\begin{align*}
y = -\frac{1}{a^2}(x - a) + \frac{1}{a} \qquad
\therefore \,\,\,
x + a^2y = 2a
\tag*{$\cdott\MARU{2}$}
\end{align*}
同様にQにおける $C$ の接線は，
\begin{align*}
x + b^2y = 2b
\tag*{$\cdott\MARU{3}$}
\end{align*}
Sは\MARU{2},\,\,\MARU{3}の交点である．
$\MARU{2} - \MARU{3}$より，
\begin{align*}
(a^2 - b^2)y = 2(a - b) \qquad
\therefore \,\,\,
y = \frac{2}{a + b}
\tag*{$\cdott\MARU{4}$}
\end{align*}
\MARU{2},\,\,\MARU{4}より
\begin{align*}
x
= 2a - \frac{2a^2}{a + b}
= \frac{2ab}{a + b}
\tag*{$\cdott\MARU{5}$}
\end{align*}
\MARU{1}より
\[
a + b
= a + \dfrac{1 + k}{1 - k}a
= \frac{2}{1 - k}a
\]
これを\MARU{3},\,\,\MARU{4}に代入して，
\begin{align*}
(1 + k)a = x
\quad\cdott\MARU{6},
&&
ya = 1 - k
\quad\cdott\MARU{7}
\end{align*}
を得る．
よって，$a$ の連立方程式\{\MARU{6},\,\,\MARU{7}\}が \smallskip$a > 0$ となる
解をもつような$(x,\,\,y)$の集合がSの軌跡である．\smallskip
\MARU{6}より $a = \dfrac{x}{1 + k}$．
よって $0 < a$ の条件は，
\begin{align*}
\frac{x}{1 + k} > 0 \qquad
\therefore \,\,\,
x > 0
\tag*{$\cdott\MARU{8}$}
\end{align*}
$a = \dfrac{x}{1 + k}$ は\MARU{7}の解でもなければならないから，
\begin{align*}
\frac{x}{1 + k} \cdot y = 1 - k\qquad
\therefore \,\,\,
xy = 1 - k^2
\tag*{$\cdott\MARU{9}$}
\end{align*}
ゆえに，Sの軌跡は\{\MARU{8},\,\,\MARU{9}\}で与えられる．
すなわち
\begin{align*}
\textcolor{red}{
\boldsymbol{
双曲線xy = 1-k^2\,のx > 0をみたす部分
}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
である．
\end{document}
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